Punct șa

În matematică, un punct șa (în engleză saddle point) al unei funcții $f$ definite pe un produs cartezian $X \times Y$ a două mulțimi $X$ și $Y$ este un punct $(\bar{x}, \bar{y}) \in X \times Y$ în așa fel încât:

$y \mapsto f (\bar{x}, y)$ atinge un maxim în $\bar{y}$ pe $Y$ ;
iar $x \mapsto f (x, \bar{y})$ atinge un minim în $\bar{x}$ pe $X$ .

Unii autori inversează maximele și minimele ( $f (\bar{x}, \cdot)$ cu un minim în $\bar{y}$ și $f (\cdot, \bar{y})$ cu un maxim în $\bar{x}$ ), dar aceasta nu schimbă cantitativ rezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul punct șa se referă la forma de șa de cal pe care o ia graficul funcției când $X$ și $Y$ sunt intervale din $ℝ$ . În terminologia din limba franceză se utilizează denumirea de punct trecătoare, cu referire la imaginea unei trecători din munte.

Într-o dimensiune, un punct șa este un punct de inflexiune care este și punct staționar.

Mai general, un punct șa pentru o funcție este un punct staționar în vecinătatea căreia curba nu se află doar pe o parte a hiperplanului tangent.

Noțiunea de punct șa intervine:

în optimizare, concept care permite enunțarea unor condiții care asigură existența unei soluții primare duale;
în teoria jocurilor, puncte șa în matricile de câștig;
pentru determinarea unor soluții particulare ale unor ecuații care nu sunt de minim sau maxim.

Definiție

Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct șa a unei funcții definite pe un produs cartezian de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale $ℝ$ (sau mai general în dreapta reală încheiată $\bar{ℝ}$ ).

Teoremă
Punct șa
Fie $X$ și $Y$ două mulțimi și $f : X \times Y \to \bar{ℝ}$ o funcție care poate lua valorile $\pm \infty$ . Se spune că $(\bar{x}, \bar{y}) \in X \times Y$ este un punct-șa al $f$ pe $X \times Y$ dacă

$\forall (x, y) \in X \times Y : f (\bar{x}, y) ⩽ f (\bar{x}, \bar{y}) ⩽ f (x, \bar{y}) .$

În condițiile de mai sus, $f (\bar{x}, \bar{y})$ este numită valoarea șa a $f$ .

Altfel spus, $y \mapsto f (\bar{x}, y)$ atinge un maximum în $\bar{y}$ pe $Y$ și $x \mapsto f (x, \bar{y})$ atinge un minimum în $\bar{x}$ pe $X$ . Nimic nu este cerut în afara crucii $({\bar{x}} \times Y) \cup (X \times {\bar{y}})$ , astfel încât imaginea șeii să poată fi înșelătoare ca atunci când $f : ℝ^{2} \to ℝ$ este definită de $f (x, y)= x 2 y 2$ (toate punctele de pe axele de ordonate sunt puncte șa).

Referințe și note

en Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 375, ISBN 0-387-97388-5
en Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (ed. 2nd), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
en von Petersdorff, Tobias (2006), „Critical Points of Autonomous Systems”, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)
en Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, p. 128, ISBN 0-486-66103-2
en Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes)

Bibliografie

fr H. Brézis (1973), Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. ISBN: 978-0-7204-2705-9.
en M. Sion (1958), « On general minimax theorems », Pacific Journal of Mathematics 8, 171-176.

Legături externe

Materiale media legate de Punct șa la Wikimedia Commons