Diffusion d'Itō

Dans le domaine des processus stochastiques la diffusion d'Itō est solution d'un type particulier d'équation différentielle stochastique. Cette équation est analogue à l'équation de Langevin, utilisée en physique pour décrire le mouvement brownien d'une particule soumise à un potentiel au sein d'un fluide visqueux. Le nom est celui du mathématicien japonais Kiyoshi Itō^[1].

Présentation

Une diffusion d'Itō (homogène dans le temps) dans un espace euclidien à n dimensions $ℝ^{n}$ est un processus stochastique X : [0, +∞) × Ω → $ℝ^{n}$ , défini sur un espace probabilisé (Ω, Σ, P) et satisfaisant une équation différentielle stochastique de la forme :

d X_{t} = b (X_{t}) d t + σ (X_{t}) d B_{t}

où B est un mouvement brownien à m dimensions, et où b : $ℝ^{n}$ → $ℝ^{n}$ ainsi que σ : $ℝ^{n}$ → $ℝ^{n \times m}$ satisfont la condition habituelle de continuité lipschitzienne :

| b (x) - b (y) | + | σ (x) - σ (y) | \leq C | x - y |

pour une certaine constante C et pour tout couple x, y ∈ $ℝ^{n}$ ; cette condition garantit l'existence d'une unique solution forte X à l'équation différentielle stochastique donnée ci-dessus. Le champ de vecteurs b est appelé coefficient de dérive de X ; le champ matriciel σ est appelé coefficient de diffusion de X. Les fonctions b et σ ne dépendent pas du temps ; si tel était le cas, X serait qualifié simplement de « processus d'Itō », et non de diffusion. Les diffusions d'Itō possèdent un certain nombre de propriétés remarquables, notamment :

la continuité des trajectoires et la continuité au sens de Feller ;
la propriété de Markov faible ;
la propriété de Markov forte ;
l'existence d'un générateur infinitésimal ;
l'existence d'un opérateur caractéristique ;
la formule de Dynkin.

En particulier, une diffusion d'Itō est un processus continu et fortement markovien dont l'opérateur caractéristique est défini sur un domaine incluant toutes les fonctions deux fois continûment dérivables ; il s'agit donc d'une « diffusion » au sens défini par Eugene Dynkin (1965).

Continuité

Article détaillé : Processus stochastique continu.

Continuité des trajectoires

Une diffusion d'Itō X est un processus à trajectoires continues, c'est-à-dire que, pour presque toutes les réalisations B_t(ω) du bruit, X_t(ω) est une fonction continue du paramètre temporel t. Plus précisément, il existe une « version continue » de X, un processus continu Y tel que :

𝐏 [X_{t} = Y_{t}] = 1 pour tout t .

Cela découle de la théorie classique de l'existence et de l'unicité des solutions fortes des équations différentielles stochastiques.

Continuité au sens de Feller

En plus d'être continu (en termes de trajectoires), une diffusion d'Itō X satisfait à une exigence plus forte : celle d'être un processus de Feller.

Pour un point x ∈ Rⁿ, notons P^x la loi de X sachant la condition initiale X₀ = x, et notons E^x l'espérance mathématique par rapport à P^x.

Soit f : Rⁿ → R une fonction mesurable (au sens de Borel) et minorée ; pour un t ≥ 0 fixé, définissons la fonction u : Rⁿ → R par :

u (x) = 𝐄^{x} [f (X_{t})]

Semi-continuité inférieure : si f est semi-continue inférieurement, alors u est semi-continue inférieurement.
Continuité de Feller : si f est bornée et continue, alors u est continue.

Le comportement de la fonction u ci-dessus, lorsque le temps t varie, est décrit par l'équation de Kolmogorov rétrograde, l'équation de Fokker-Planck, etc. (voir ci-dessous).

La propriété de Markov

Article détaillé : Propriété de Markov.

La propriété de Markov

Une diffusion d'Itō X possède une propriété importante : elle est « markovienne ». Cela signifie que le comportement futur de X, sachant ce qui s'est produit jusqu'à un instant donné t, est identique à ce qu'il serait si le processus avait démarré à la position X_t à l'instant 0. La formulation mathématique précise de cet énoncé nécessite quelques notations supplémentaires :

Soit Σ_∗ la filtration naturelle de (Ω, Σ) engendrée par le mouvement brownien B : pour tout t ≥ 0

Σ_{t} = Σ_{t}^{B} = σ {B_{s}^{- 1} (A) \subseteq Ω : 0 \leq s \leq t, A \subseteq 𝐑^{n} borélien}

Il est aisé de montrer que X est adapté à Σ_∗ (c'est-à-dire que chaque X_t est mesurable par rapport à Σ_t) ; par conséquent, la filtration naturelle F_∗ = F_∗^X de (Ω, Σ) engendrée par X vérifie F_t ⊆ Σ_t pour tout t ≥ 0.

Soit f : Rⁿ → R une fonction bornée et mesurable au sens de Borel. Alors, pour tout t et h ≥ 0, l'espérance conditionnelle — conditionnée par la tribu Σ_t — et l'espérance du processus « redémarré » à partir de X_t satisfont la propriété de Markov :

𝐄^{x} [f (X_{t + h}) | Σ_{t}] (ω) = 𝐄^{X_{t} (ω)} [f (X_{h})]

En fait, X est également un processus de Markov par rapport à la filtration F_∗, comme le montre ce qui suit :

\begin{matrix} 𝐄^{x} [f (X_{t + h}) | F_{t}] & = 𝐄^{x} [𝐄^{x} [f (X_{t + h}) | Σ_{t}] | F_{t}] \\ = 𝐄^{x} [𝐄^{X_{t}} [f (X_{h})] | F_{t}] \\ = 𝐄^{X_{t}} [f (X_{h})] . \end{matrix}

La propriété de Markov forte

La propriété de Markov forte est une généralisation de la propriété de Markov ci-dessus, dans laquelle t est remplacé par un temps aléatoire τ : Ω → [0, +∞] approprié, appelé temps d'arrêt. Ainsi, par exemple, au lieu de « redémarrer » le processus X à l'instant t = 1, on pourrait le « redémarrer » au moment où X atteint pour la première fois un point donné p de Rⁿ. Comme précédemment, soit f : Rⁿ → R une fonction bornée et mesurable au sens de Borel. Soit τ un temps d'arrêt par rapport à la filtration Σ_∗, tel que τ < +∞ presque sûrement. Alors, pour tout h ≥ 0 :

𝐄^{x} [f (X_{τ + h}) | Σ_{τ}] = 𝐄^{X_{τ}} [f (X_{h})]

Le générateur

Article détaillé : Générateur infinitésimal.

Définition

À toute diffusion d'Itō est associé un opérateur différentiel du second ordre, appelé « générateur » de la diffusion. Ce générateur est très utile dans de nombreuses applications et contient une grande quantité d'informations sur le processus X. Formellement, le générateur infinitésimal d'une diffusion d'Itō X est l'opérateur A, défini par son action sur des fonctions appropriées f : Rⁿ → R comme suit :

A f (x) = lim_{t ↓ 0} \frac{𝐄^{x} [f (X_{t})] - f (x)}{t}

L'ensemble de toutes les fonctions f pour lesquelles cette limite existe en un point x est noté D_A(x), tandis que D_A désigne l'ensemble de toutes les fonctions f pour lesquelles la limite existe pour tout x ∈ Rⁿ. On peut montrer que toute fonction f de classe C² (deux fois dérivable, avec une dérivée seconde continue) à support compact appartient à D_A et que

A f (x) = \sum_{i} b_{i} (x) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) + \frac{1}{2} \sum_{i, j} {(σ (x) σ (x)^{⊤})}_{i, j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x)

ou, en utilisant le gradient ainsi que les produits scalaires (produit scalaire classique et produit scalaire de Frobenius),

A f (x) = b (x) \cdot \nabla_{x} f (x) + \frac{1}{2} (σ (x) σ (x)^{⊤}) : \nabla_{x} \nabla_{x} f (x)

Exemple

Le générateur « A » du mouvement brownien standard B à n dimensions, qui satisfait l'équation différentielle stochastique dX_t= dB_t, est donné par :

A f (x) = \frac{1}{2} \sum_{i, j} δ_{i j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x) = \frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} (x)

c'est-à-dire « A » = Δ/2, où Δ désigne le laplacien.

Les équations de Kolmogorov et de Fokker–Planck

Articles détaillés : Équation de Chapman-Kolmogorov et Équation de Fokker-Planck.

Le générateur intervient dans la formulation de l'équation de Kolmogorov rétrograde. Intuitivement, cette équation décrit l'évolution temporelle de l'espérance d'une statistique suffisamment régulière de X : elle doit satisfaire une certaine équation aux dérivées partielles dans laquelle le temps t et la position initiale x constituent les variables indépendantes. Plus précisément, si f ∈ C²(Rⁿ ; R) est à support compact et si u : [0, +∞) × Rⁿ → R est définie par

u (t, x) = 𝐄^{x} [f (X_{t})]

alors u(t, x) est dérivable par rapport à t, u(t, •) appartient au domaine D_A pour tout t, et u vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée équation de Kolmogorov rétrograde :

{\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial t} (t, x) = A u (t, x), & t > 0, x \in 𝐑^{n} \\ u (0, x) = f (x), & x \in 𝐑^{n} \end{matrix}

L'équation de Fokker–Planck (également appelée équation de Kolmogorov directe) est, en un certain sens, l'opérateur adjoint de l'équation rétrograde ; elle décrit l'évolution temporelle des densités de probabilité de X_t. Soit ρ(t, •) la densité de X_t par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rⁿ ; c'est-à-dire que, pour tout ensemble borélien S ⊆ Rⁿ

𝐏 [X_{t} \in S] = \int_{S} ρ (t, x) d x

Soit A^∗ l'opérateur adjoint de A (par rapport au produit scalaire dans l'espace préhilbertien L²). Alors, en supposant que la position initiale X₀ possède une densité donnée ρ₀, la fonction ρ(t, x) est dérivable par rapport à t, ρ(t, •) ∈ D_A_* pour tout t, et ρ satisfait l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée équation de Fokker-Planck :

{\begin{matrix} \frac{\partial ρ}{\partial t} (t, x) = A^{*} ρ (t, x), & t > 0, x \in 𝐑^{n} \\ ρ (0, x) = ρ_{0} (x), & x \in 𝐑^{n} \end{matrix}

La formule de Feynman-Kac

Article détaillé : Formule de Feynman-Kac.

La formule de Feynman-Kac constitue une généralisation utile de l'équation de Kolmogorov rétrograde. Soit f une fonction de classe C²(Rⁿ ; R) à support compact, et soit q : Rⁿ → R une fonction continue minorée. Définissons la fonction v : [0, +∞) × Rⁿ → R par :

v (t, x) = 𝐄^{x} [\exp (- \int_{0}^{t} q (X_{s}) d s) f (X_{t})]

La formule de Feynman-Kac énonce que v vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante :

{\begin{matrix} \frac{\partial v}{\partial t} (t, x) = A v (t, x) - q (x) v (t, x), & t > 0, x \in 𝐑^{n} \\ v (0, x) = f (x), & x \in 𝐑^{n} \end{matrix}

De plus, si w : [0, +∞) × Rⁿ → R est une fonction de classe C¹ par rapport au temps et C² par rapport à l'espace, bornée sur tout ensemble de la forme K × Rⁿ (où K est un compact), et qu'elle vérifie l'équation aux dérivées partielles ci-dessus, alors w est nécessairement égale à v telle que définie précédemment. L'équation rétrograde de Kolmogorov est un cas particulier de la formule de Feynman-Kac dans lequel q(x) = 0 pour tout x ∈ Rⁿ.

L'opérateur caractéristique

Définition

L'opérateur caractéristique d'une diffusion d'Itō X est un opérateur différentiel étroitement lié au générateur infinitésimal, mais quelque peu plus général. Il est mieux adapté à certains problèmes, par exemple à la résolution du problème de Dirichlet.

L'opérateur caractéristique $𝒜$ d'une diffusion d'Itō X est défini par

𝒜 f (x) = lim_{U ↓ x} \frac{𝐄^{x} [f (X_{τ_{U}})] - f (x)}{𝐄^{x} [τ_{U}]}

où les ensembles U forment une suite d'ensembles ouverts U_k qui décroissent vers le point x, au sens où

U_{k + 1} \subseteq U_{k} et ⋂_{k = 1}^{\infty} U_{k} = {x}

et où

τ_{U} = inf {t \geq 0 : X_{t} \in̸ U}

est le premier temps de sortie de U pour le processus X. On note $D_{𝒜}$ l'ensemble des fonctions f pour lesquelles cette limite existe pour tout x ∈ Rⁿ et pour toute suite {U_k}. Si E^x[τ_U] = +∞ pour tout ensemble ouvert U contenant x, on pose

𝒜 f (x) = 0

Relation avec le générateur

L'opérateur caractéristique et le générateur infinitésimal sont étroitement liés ; ils coïncident même pour une vaste classe de fonctions. On peut montrer que

D_{A} \subseteq D_{𝒜}

et que

A f = 𝒜 f pour toute fonction f \in D_{A} .

En particulier, le générateur et l'opérateur caractéristique coïncident pour toute fonction f de classe C², auquel cas

𝒜 f (x) = \sum_{i} b_{i} (x) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) + \frac{1}{2} \sum_{i, j} {(σ (x) σ (x)^{⊤})}_{i, j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x)

Application : mouvement brownien sur une variété riemannienne

Plus haut, nous avons établi que le générateur (et donc l'opérateur caractéristique) du mouvement brownien sur Rⁿ est $1 / 2$ Δ, où Δ désigne l'opérateur de Laplace. L'opérateur caractéristique est utile pour définir le mouvement brownien sur une variété riemannienne (M, g) de dimension m : un mouvement brownien sur M est défini comme une diffusion sur M dont l'opérateur caractéristique $𝒜$ , exprimé en coordonnées locales x_i (pour 1 ≤ i ≤ m), est donné par $1 / 2$ Δ_LB, où Δ_LB est l'opérateur de Laplace-Beltrami qui, en coordonnées locales, s'écrit :

Δ_{L B} = \frac{1}{\sqrt{det (g)}} \sum_{i = 1}^{m} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sqrt{det (g)} \sum_{j = 1}^{m} g^{i j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}),

où [g^ij] = [g_ij]⁻¹ au sens de l'inverse d'une matrice carrée.

L'opérateur résolvant

En général, le générateur A d'une diffusion d'Itō X n'est pas un opérateur borné. Cependant, si l'on soustrait à A un multiple positif de l'opérateur identité I, l'opérateur obtenu est inversible. L'inverse de cet opérateur peut s'exprimer en fonction de X lui-même, au moyen de l'opérateur résolvant.

Pour α > 0 l'opérateur résolvant R_α, agissant sur des fonctions continues et bornées g : Rⁿ → R, est défini par

R_{α} g (x) = 𝐄^{x} [\int_{0}^{\infty} e^{- α t} g (X_{t}) d t]

On peut démontrer, en utilisant la continuité au sens de Feller de la diffusion X, que R_αg est elle-même une fonction continue et bornée. Par ailleurs, R_α et αI − A sont des opérateurs inverses l'un de l'autre :

si f : Rⁿ → R est de classe C² et à support compact, alors, pour tout α > 0,

R_{α} (α 𝐈 - A) f = f

si g : Rⁿ → R est une fonction continue et bornée, alors R_αg appartient au domaine D_A et, pour tout α > 0,

(α 𝐈 - A) R_{α} g = g

Mesures invariantes

Il est parfois nécessaire de déterminer une mesure invariante pour une diffusion d'Itō X, c'est-à-dire une mesure sur Rⁿ qui demeure inchangée sous l'action du flot associé à X : autrement dit, si X₀ suit une telle mesure invariante μ_∞, alors X_t suit également μ_∞ pour tout t ≥ 0. L'équation de Fokker-Planck permet de trouver une telle mesure, du moins lorsqu'elle admet une densité de probabilité ρ_∞ : si X₀ suit effectivement une mesure invariante μ_∞ de densité ρ_∞, alors la densité ρ(t, •) de X_t ne dépend pas de t — on a donc ρ(t, •) = ρ_∞ — et, par conséquent, ρ_∞ doit être solution de l'équation aux dérivées partielles (indépendante du temps) suivante :

A^{*} ρ_{\infty} (x) = 0, x \in 𝐑^{n}

Cela illustre l'un des liens existant entre l'analyse stochastique et l'étude des équations aux dérivées partielles. Réciproquement, bien qu'il puisse être difficile de résoudre directement une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre de la forme Λf = 0, si l'on peut écrire Λ = A^∗ pour une certaine diffusion d'Itō X dont on sait facilement calculer une mesure invariante, alors la densité de cette mesure fournit une solution à l'équation aux dérivées partielles considérée.

Mesures invariantes pour les flots de gradient

Une mesure invariante est relativement facile à calculer lorsque le processus X est un flot de gradient stochastique de la forme

d X_{t} = - \nabla Ψ (X_{t}) d t + \sqrt{2 β^{- 1}} d B_{t}

où β > 0 joue le rôle d'une température inverse et Ψ : Rⁿ → R est un potentiel scalaire satisfaisant des conditions appropriées de régularité et de croissance. Dans ce cas, l'équation de Fokker-Planck admet une unique solution stationnaire ρ_∞ (c'est-à-dire que X possède une unique mesure invariante μ_∞ de densité ρ_∞), donnée par la distribution de Boltzmann :

ρ_{\infty} (x) = Z^{- 1} \exp (- β Ψ (x))

où la fonction de partition Z est définie par

Z = \int_{𝐑^{n}} \exp (- β Ψ (x)) d x

Par ailleurs, la densité ρ_∞ satisfait un principe variationnel : elle minimise, parmi toutes les densités de probabilité ρ sur Rⁿ, la fonctionnelle d'enthalpie libre F donnée par

F [ρ] = E [ρ] + \frac{1}{β} S [ρ]

où

E [ρ] = \int_{𝐑^{n}} Ψ (x) ρ (x) d x

joue le rôle d'une fonctionnelle d'énergie et

S [ρ] = \int_{𝐑^{n}} ρ (x) \log ρ (x) d x

correspond à l'opposé de la fonctionnelle d'entropie de Gibbs-Boltzmann. Même lorsque le potentiel Ψ n'est pas suffisamment régulier pour permettre la définition de la fonction de partition Z et de la mesure de Gibbs μ_∞, l'énergie libre F[ρ(t, •)] reste bien définie pour tout instant t ≥ 0, à condition que la condition initiale vérifie F[ρ(0, •)] < +∞. La fonctionnelle d’énergie libre F est, en fait, une fonction de Liapounov pour l’équation de Fokker–Planck : F[ρ(t, •)] doit décroître à mesure que t augmente. Ainsi, F constitue une fonction H pour la dynamique X.

Exemple

Considérons le processus d'Ornstein-Uhlenbeck X sur Rⁿ, satisfaisant l'équation différentielle stochastique suivante :

d X_{t} = - κ (X_{t} - m) d t + \sqrt{2 β^{- 1}} d B_{t}

où m ∈ Rⁿ et β, κ > 0 sont des constantes données. Dans ce cas, le potentiel Ψ est défini par :

Ψ (x) = \frac{1}{2} κ | x - m |^{2}

et la mesure invariante associée à X est donc une mesure gaussienne de densité ρ_∞ donnée par :

ρ_{\infty} (x) = {(\frac{β κ}{2 π})}^{\frac{n}{2}} \exp (- \frac{β κ | x - m |^{2}}{2})

De manière heuristique, pour des valeurs de t élevées, X_t suit approximativement une loi normale de moyenne m et de variance (βκ)⁻¹. L'expression de la variance peut s'interpréter comme suit : des valeurs élevées de κ signifient que le puits de potentiel Ψ présente des « parois très abruptes » ; par conséquent, il est peu probable que X_t s'éloigne significativement du minimum de Ψ, situé en m. De même, des valeurs élevées de β indiquent que le système est relativement « froid » et peu bruité ; là encore, il est peu probable que X_t s'éloigne beaucoup de m.

La propriété de martingale

En général, une diffusion d'Itō X n'est pas une martingale. Cependant, pour toute fonction f ∈ C²(Rⁿ; R) à support compact, le processus M : [0, +∞) × Ω → R défini par

M_{t} = f (X_{t}) - \int_{0}^{t} A f (X_{s}) d s

où A est le générateur de X, est une martingale par rapport à la filtration naturelle F_∗ de (Ω, Σ) engendrée par X. La démonstration est assez simple : elle découle de l'expression habituelle de l'action du générateur sur des fonctions f suffisamment régulières et du lemme d'Itō (la règle de dérivation en chaîne stochastique), ce qui donne

f (X_{t}) = f (x) + \int_{0}^{t} A f (X_{s}) d s + \int_{0}^{t} \nabla f (X_{s})^{⊤} σ (X_{s}) d B_{s}

Comme les intégrales d'Itō sont des martingales par rapport à la filtration naturelle Σ_∗ de (Ω, Σ) engendrée par B, on a, pour t > s :

𝐄^{x} [M_{t} | Σ_{s}] = M_{s}

Ainsi, comme attendu,

𝐄^{x} [M_{t} | F_{s}] = 𝐄^{x} [𝐄^{x} [M_{t} | Σ_{s}] | F_{s}] = 𝐄^{x} [M_{s} | F_{s}] = M_{s}

puisque M_s est F_s-mesurable.

Formule de Dynkin

Article détaillé : Formule de Dynkin.

La formule de Dynkin donne l'espérance mathématique d'une fonction suffisamment régulière d'une diffusion d'Itō X (de générateur A) évaluée à un temps d'arrêt. Plus précisément, si τ est un temps d'arrêt tel que E^x[τ] < +∞, et si f : Rⁿ → R est une fonction de classe C² à support compact, alors :

𝐄^{x} [f (X_{τ})] = f (x) + 𝐄^{x} [\int_{0}^{τ} A f (X_{s}) d s]

La formule de Dynkin permet de calculer diverses quantités utiles liées aux temps d'arrêt. Par exemple, le mouvement brownien canonique sur la droite réelle, partant de 0, sort de l'intervalle (−R, +R) à un instant aléatoire τ_R dont l'espérance est :

𝐄^{0} [τ_{R}] = R^{2}

La formule de Dynkin fournit des informations sur le comportement de X à un temps d'arrêt assez général. Pour approfondir l'étude de la loi de X à un temps d'atteinte, on peut s'intéresser à la « mesure harmonique » du processus.

Mesures associées

La mesure harmonique

Article détaillé : Mesure harmonique.

Dans de nombreuses situations, il suffit de savoir à quel moment une diffusion d'Itō X quitte pour la première fois un ensemble mesurable H ⊆ Rⁿ. Autrement dit, on s'intéresse au temps de première sortie

τ_{H} (ω) = inf {t \geq 0 | X_{t} \in̸ H}

Parfois, cependant, on souhaite également connaître la distribution des points par lesquels X quitte cet ensemble. Par exemple, le mouvement brownien canonique B sur la droite réelle, partant de 0, quitte l'intervalle (−1, 1) en −1 avec une probabilité de $1 / 2$ et en 1 avec une probabilité de $1 / 2$ ; ainsi, B_{τ_(−1, 1)} suit une loi uniforme sur l'ensemble {−1, 1}.

De manière générale, si G est un sous-ensemble de Rⁿ dont l'adhérence est compacte, alors la mesure harmonique (ou distribution de sortie) de X sur la frontière ∂G de G est la mesure μ_G^x définie par

μ_{G}^{x} (F) = 𝐏^{x} [X_{τ_{G}} \in F]

pour tout x ∈ G et tout F ⊆ ∂G. En revenant à l'exemple précédent du mouvement brownien, on peut montrer que si B est un mouvement brownien dans Rⁿ partant de x ∈ Rⁿ et si D ⊂ Rⁿ est une boule ouverte centrée en x, alors la mesure harmonique de B sur \partial D est invariante par toute rotation de D autour de x et coïncide avec la mesure de surface normalisée sur ∂D.

La mesure harmonique vérifie une « propriété de la moyenne » intéressante : si f : Rⁿ → R est une fonction mesurable au sens de Borel et bornée et si φ est définie par

φ (x) = 𝐄^{x} [f (X_{τ_{H}})]

alors, pour tout ensemble borélien G ⊂⊂ H et tout x ∈ G on a

φ (x) = \int_{\partial G} φ (y) d μ_{G}^{x} (y)

La propriété de la moyenne est très utile pour la résolution d'équations aux dérivées partielles à l'aide de processus stochastiques.

La mesure de Green et la formule de Green

Article détaillé : Mesure de Green.

Soit A un opérateur différentiel partiel sur un domaine D ⊆ Rⁿ et soit X une diffusion d'Itō dont A est le générateur. Intuitivement, la mesure de Green d'un ensemble borélien H correspond à la durée moyenne pendant laquelle X séjourne dans H avant de quitter le domaine D. Autrement dit, la « mesure de Green » de X par rapport à D au point x, notée G(x, •), est définie, pour tout ensemble borélien H ⊆ Rⁿ, par

G (x, H) = 𝐄^{x} [\int_{0}^{τ_{D}} χ_{H} (X_{s}) d s]

ou, pour toute fonction continue et bornée f : D → R, par

\int_{D} f (y) G (x, d y) = 𝐄^{x} [\int_{0}^{τ_{D}} f (X_{s}) d s]

Le terme « mesure de Green » provient du fait que, si X est un mouvement brownien, alors

G (x, H) = \int_{H} G (x, y) d y

où G(x, y) est la fonction de Green associée à l'opérateur $1 / 2$ Δ sur le domaine D.

Supposons que E^x[τ_D] < +∞ pour tout x ∈ D. Alors, la formule de Green est vérifiée pour toute fonction f ∈ C²(Rⁿ; R) à support compact :

f (x) = 𝐄^{x} [f (X_{τ_{D}})] - \int_{D} A f (y) G (x, d y)

En particulier, si le support de f est immergé de façon compacte dans D, alors

f (x) = - \int_{D} A f (y) G (x, d y)

Références

↑ (en) Kiyoshi Itō et Henry P. McKean, Jr., Diffusion Processes and their Sample Paths, Springer, 1974 (lire en ligne)

(en) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, Springer Nature, 2021 (ISBN 978-3-030-61870-4)
(en) Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
(en) Eugene B. Dynkin, J. Fabius, V. Greenberg, A. Maitra et G. Majone, Markov processes. Vols. I, II, Academic Press, coll. « Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121 », 1965
(en) Richard Jordan, David Kinderlehrer et Felix Otto, « The variational formulation of the Fokker–Planck equation », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 29,‎ 1998, p. 1-17 (DOI 10.1137/S0036141096303359)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Itô diffusion » (voir la liste des auteurs).

Portail de l'analyse

Portail des probabilités et de la statistique

Portail de la physique

[1] (en) Kiyoshi Itō et Henry P. McKean, Jr., Diffusion Processes and their Sample Paths, Springer, 1974 (lire en ligne)

[1]