葬列としての因果集合 ── 完結編：地平面の内側へ / Causal Sets as “葬列” — Final Edition: Inside the Horizon

完結編について / About this final edition

本稿は「葬列としての因果集合 ── 完全版」（v9）の続編であり、シリーズの完結編（v10）です。v9 で五つの公理（A1〜A5）として書いた投影規則 f を、実際に計算できる形に落とし、理論の中心命題——私たちは生まれてもいなければ死んでもおらず、ブラックホールの事象の地平面の内側にいて、すべての人が葬列を成している——を、順序論の三つの事実として言い直します。超弦理論・M 理論、曼荼羅と生命の樹、涅槃（不生不滅）との対応も、どこまでが計算でどこからが比喩かを分けて書きました。

This is the sequel to, and the final edition (v10) of, “Causal Sets as ‘葬列’ — Complete Edition” (v9). The projection rule f, written at v9 as five axioms (A1–A5), is made computable, and the central thesis — we are neither born nor dead; we stand inside the black-hole horizon; and every one of us forms a funeral procession — is restated as three facts of order theory. Correspondences with superstring and M-theory, with the mandala and the Tree of Life, and with nirvāṇa (unborn, undying) are drawn with the line between computation and metaphor made explicit.

はじめに / Introduction

作品「Causal Sets / 葬列」を起点に、時間を「流れ」ではなく因果関係の部分順序として捉え直す——この試みは v1 から v9 まで、図版（plate）・論文・note・SNS の四つの出力を同じ内部状態から派生させる、という作法で続けてきました。v10 では、その内部状態そのものを公開します。すべてのコードに一行ごとの注釈を付け、すべての図版をそのコードから生成し直しました。

Anchored in the artwork “Causal Sets / 葬列,” this series has reframed time not as a flow but as a partial order of causal relations, deriving four outputs — plate, paper, note, SNS — from one internal state. v10 publishes that internal state itself: every line of code is annotated, and every figure is regenerated from it.

作品キャプション / Artwork Caption

Title of Work: Causal Sets / 葬列
Year of Creation: Apr 2023
Dimensions: 41 × 61 cm (Height × Width)
Medium: Digital media
Technique: Photo collage

本作品「葬列」は、東洋の神秘思想と、量子力学と一般相対性理論をつなぐ概念的な架け橋である因果集合理論に着想を得ています。過去・現在・未来の出来事が一瞬のうちに展開されるという、原因と結果の同時性を探求し、時間の連続性という通念に挑戦しています。それぞれの存在は、自らのセルに孤立しているように描かれています。しかし、避けることのできない運命の絆によって互いにつながり、私たちの集合的な存在が形づくられていることが示唆されています。

“Causal Sets” draws inspiration from Eastern mysticism and the theory of causal sets — a conceptual bridge between quantum mechanics and general relativity. The artwork explores the simultaneity of cause and effect, illustrating how events of the past, present, and future unfold in an instant, thereby challenging the traditional notion of temporal continuity. Each being is depicted as isolated within its own cell, yet interconnected through inevitable bonds of fate.

中心命題 / The Central Thesis

v10 が最終的に述べたいことは、三つの文に収まります。それぞれに「順序論の事実」「物理の対応」「東洋思想の対応」を分けて添えました。命題を信じてもらうためではなく、命題がどの程度まで計算可能かを測るためです。

What v10 finally wants to say fits in three sentences. To each we attach the order-theoretic fact, the physical correspondence, and the correspondence in Eastern thought — not to be believed, but to measure how far each thesis can be computed.

P1　私たちは生まれてもいなければ、死んでもいない。 / We are neither born nor dead.

有限の観測窓の中には「過去を持たない要素」（生）と「未来を持たない要素」（死）が必ず現れますが、窓を固定したまま因果集合を広げると、その割合は 0 に向かいます。生と死は順序の性質ではなく、窓の縁の性質です。物理では、地平面上で固有時が流れない（τ = 0）こと。東洋思想では、般若心経の「不生不滅」。

Inside a finite window there are always elements without a past (births) and without a future (deaths), but enlarge the causal set with the window fixed and their fraction tends to zero. Birth and death are properties of the window's edge, not of the order. Physics: no proper time passes on the horizon (τ = 0). Eastern thought: the Heart Sūtra's “neither born nor extinguished.”

P2　この世界は、ブラックホールの事象の地平面の内側にある。 / This world lies inside the event horizon of a black hole.

ヌル面 u = u_h で因果集合を二分すると、糸は外側から内側へしか越えられません。内側から見れば地平面は「越えられない過去」、外側から見れば「読み取るしかない境界」。ホログラフィック原理——境界のデータから bulk が復元される——がこれに対応します。扱う地平面は、五公理が同時に成立する安定領域の内部にある、静的なシュヴァルツシルト地平面の理想化です。阿頼耶識から現象世界が展開する、という唯識の構図と同じ形をしています。

Split the causal set by the null surface u = u_h and threads cross only from outside to inside. From within, the horizon is an uncrossable past; from without, a boundary that can only be read. This corresponds to the holographic principle — the bulk reconstructed from boundary data. The horizon treated is an idealisation of a static Schwarzschild horizon, lying inside the stable regime where all five axioms hold. It has the shape of the Yogācāra picture in which the phenomenal world unfolds from the storehouse consciousness.

P3　すべての人々は、葬列を成している。 / Every one of us forms a funeral procession.

Dilworth の定理：任意の有限な部分順序は、その幅に等しい本数の鎖（全順序な列）に分割でき、すべての要素はちょうど一つの鎖に属します。320 要素の因果集合では、33 本の列が全要素を覆いました。列の外に立つ者はいません。物理ではビット・スレッド（地平面を越える独立な糸の最大本数＝最小カット）、東洋思想では縁起と無我——要素は関係の束であって、関係の外に実体を持たない——に対応します。

Dilworth's theorem: any finite partial order can be partitioned into as many chains (totally ordered columns) as its width, and every element belongs to exactly one chain. In a 320-element causal set, 33 columns cover every element. No one stands outside. Physics: bit threads (the maximal number of independent threads across the horizon equals the minimum cut). Eastern thought: dependent origination and non-self — an element is a bundle of relations with no substance outside them.

v10 で計算したこと / What v10 Computes

v9 の五公理を、散布された因果集合・ヌル面としての地平面・四つのパラメータ θ = (p, q, σ, κ) の上で検査できるようにしました。安定領域 Ω_stable は相図として求まり、A5（ホログラフィック境界）の上界 κ_max は最大流（bit threads）から数値的に出ます。

The five axioms of v9 are made testable on a sprinkled causal set, a horizon modelled as a null surface, and four parameters θ = (p, q, σ, κ). The stable regime Ω_stable is obtained as a phase diagram, and the A5 (holographic) bound κ_max follows numerically from maximal flow (bit threads).

さらに四つの拡張を加えました。順序だけから時空の次元 2 を取り出す（Myrheim–Meyer）、面積則の素朴な検証（1+1 次元では破れる、という否定的結果）、「今」は反鎖である（同時に在れる存在の数＝葬列の本数）、縁＝共通の未来（窓を広げると、どの二人にも必ず共通の未来がある）。

Four extensions are added: the dimension 2 recovered from order alone (Myrheim–Meyer); a naive test of the area law (a negative result in 1+1 dimensions); the present as an antichain (the number of beings that can exist at once equals the number of processions); and en as a shared future (enlarge the window and every pair shares a future).

コードはすべて一行ごとに注釈を付けています。たとえば地平面の定義は、これだけです。

Every line of code is annotated. The horizon, for example, is defined in these few lines:

def horizon_split(pts, u_h=0.5):
    # 光円錐座標 u = (t − x)/√2 を復元する。地平面はヌル面 u = u_h（クルスカル座標の U = 0 に相当）
    u = (pts[:, 0] - pts[:, 1]) / math.sqrt(2.0)
    # u ≥ u_h の要素が地平面の「内側」。因果関係は u を減らせないので、内側から外側へ戻る糸は存在しない
    inside = u >= u_h
    # 内側の真偽ベクトルを返す。外側はその否定
    return inside

そして「葬列への分解」は、Dilworth の定理をそのまま実装したものです。

And the decomposition into processions is Dilworth's theorem implemented as it stands:

def minimum_chain_cover(C):
    # 要素数
    n = C.shape[0]
    # 二部グラフを作る：左側に各要素の「出口」、右側に「入口」を置く
    G = nx.Graph()
    # 左右の頂点を登録する（左は 0..n−1、右は n..2n−1）
    G.add_nodes_from(range(2 * n))
    # i ≺ j なら、i の出口と j の入口を結ぶ（i の次に j が続けるという意味）
    i, j = np.where(C)
    # 辺を一括で登録する
    G.add_edges_from(zip(i, j + n))
    # 最大マッチング = 「次に誰かが続く」要素の最大数
    M = nx.bipartite.maximum_matching(G, top_nodes=range(n))
    # マッチした辺の数（辞書は両向きに入るので半分にする）
    matched = sum(1 for a in M if a < n)
    # Dilworth／Fulkerson：最小の鎖被覆数 = n − 最大マッチング。これが「葬列の本数」
    return n - matched, M

弦と膜、曼荼羅と樹 / Strings and Branes, Mandala and Tree

超弦理論・M 理論 / Superstring and M-theory

本稿の「因果の糸」は弦の世界面の断面として、地平面はブレーン（AdS 境界）として読めます。計算できたのはT 双対——半径 R の弦と α′/R の弦が同じスペクトルを持つ——だけで、これは「窓の大きさは物理ではない」という P1 の弦理論版です。残りは対応であって定理ではない、と明記しました。

The causal thread reads as a cross-section of a string worldsheet, the horizon as a brane (AdS boundary). What is actually computed is T-duality — a string at radius R and at α′/R share one spectrum — the string-theoretic form of P1: the size of the window is not physics. The rest is stated as correspondence, not theorem.

曼荼羅と生命の樹 / Mandala and the Tree of Life

カバラの生命の樹は、径に流出の向きを与えると部分順序になり、各セフィラの rank は 0〜8 の九段になります。v2 以来「Sephirot 制約」と呼んできたものの中身は、この十要素の順序との準同型でした。因果集合の rank を半径に、空間を円周に巻いて投影すると、過去を持たない要素が中心に集まり、最も深い段が外周に並ぶ——胎蔵曼荼羅の構図と同じ形です。曼荼羅の中心は「原因のない原因」ではなく、観測の限界が描く点です。

Given the direction of emanation, the kabbalistic Tree becomes a partial order with ranks 0–8. What the series has called the “Sephirot constraint” since v2 turns out to be a homomorphism onto this ten-element order. Project the causal set with rank as radius and space wrapped onto the circle, and elements without a past gather at the centre while the deepest tier lies on the rim — the shape of the Womb-realm mandala. The centre is not an uncaused cause but a point drawn by the limit of observation.

関連作 / Related Work

「元型」の反復・入れ子の発想は、本稿における rank の入れ子と、曼荼羅投影——同心の環として現れる段——の読解に、補助的な参照枠を与えます。「葬列」が時間順に連なる鎖なら、「元型」は同じ像が入れ子になって際限なく反復する構造です。

The repetition and nesting of “Archetypus” provide a supporting frame for rank-nesting and for the mandala projection, where the tiers of the order appear as concentric rings. If “葬列” is a chain strung along time, “Archetypus” is the same figure nested and recurring without end.

Title of Work: Archetypus / 元型
Year of Creation: Jul 2020
Dimensions: 123 × 99 cm (Height × Width)
Medium: Digital media
Technique: Photo collage

この作品では「原型への回帰と反復」というテーマに沿って、鳥の仮面を被った女性を繰り返し複製しています。これは人間の持つ熾烈な願望を表現しています。狂気を支える論理が芸術作品、ひいては人類の文明には必要不可欠であり、作家にとって論理は感覚を抑える手段に過ぎないため、両者の共存が合わせ鏡のような反復を生むことになります。そこには終焉がなく、ただ入れ子構造になった世界がループしているのみです。人類の歴史や文化、戦争、紛争、そして宇宙もこのようにして構築されてきたのではないでしょうか。

This artwork, titled “Archetypus,” explores the theme of “A Return to the Archetypal and Repetition,” featuring repeated reproductions of a woman wearing a bird mask — an expression of humanity's fierce desires. The logic that sustains madness is indispensable to art, and indeed to human civilization; yet for the artist, logic is no more than a means of restraining the senses. The coexistence of the two thus gives rise to a repetition like that of facing mirrors — endlessly looping within nested structures. There is no end to it; only a nested world looping on. Perhaps human history, culture, wars and conflicts, and even the cosmos itself, have been constructed in just this way.

不生不滅 / Unborn, Undying

因果集合の要素は、順序以外の属性を持ちません。要素が「何であるか」は、何の後にあり何の前にあるかで尽きます。これは無我の形式的な言い直しであり、縁起は順序 ≺ そのものです。ブッダが至った涅槃を本稿は定義しません。定義できるのは、生と死が窓の産物であること、地平面上では時間が流れないこと、そしてすべての要素が列に属することまでです。その先は、計算ではなく修行の領域です。

An element of a causal set has no attribute other than its order: what it is, is exhausted by what it follows and what it precedes. This is a formal restatement of non-self, and dependent origination is the order ≺ itself. The paper does not define the nirvāṇa the Buddha reached. What it can define is that birth and death are products of the window, that no time passes on the horizon, and that every element belongs to a column. Beyond that lies practice, not computation.

結語 / Closing

A procession is an order, inside a world with the horizon in its past, in which no one stands outside the column.

開いたままのもの：閾値の導出、一意性の証明、3+1 次元への拡張、弦との対応の定式化。そして一つ、計算の外にあるもの——列に属する一人ひとりが、互いの糸を大切にするかどうか。それは公理ではなく、作品が問いかけ続けることです。

Left open: the derivation of the thresholds, the proof of uniqueness, 3+1 dimensions, a formalisation of the string correspondence. And one thing outside computation — whether each of us in the column will treasure the threads between us. That is not an axiom; it is what the artwork keeps asking.

完全版 PDF / The Complete Edition PDFs

図解・仕様・全行注釈付きコード・五公理・plate ギャラリー（v1〜v10）をすべて収めた完全版 v10 を、日本語版・英語版で公開します（各 56 ページ）。

The Complete Edition v10 — diagrams, specification, fully annotated code, the five axioms and the plate gallery (v1–v10) — is available in Japanese and English (56 pages each).

• 日本語版 PDF / Japanese

• 英語版 PDF / English

関連リンク / Related Links

前稿（v9）/ Previous

初稿 / Original

Causal Sets / 葬列

Archetypus / 元型

stand.fm

公式サイト / Website

フォトコラージュ作品 / Photo Collage

作家プロフィール / Artist Profile