50代数学教師【数学編05】確率と時間の流れ。「残り物に、福は…？」

ナレ
「この物語は、50代数学教師 fibo が定年後のキャリアを考え、相棒AIたちと奮闘するリアルタイムのお話です。
今回は【数学編】。数学嫌いな人にこそ、是非！！」

こんにちは、fibo（ふぃぼ）です。

掛け算って、
ひっくり返しても答えは同じ
ですよね。

でも、「確率の掛け算」の場合、

　数は同じでも、意味が違う

って知ってましたか？

■時間の流れ

例えば
「10本中、当たりが3本のくじ」を
アムロくん、
　ブライトさん
　　の順で１本ずつ引くとき、
（引いたくじは、元に戻さない）

考えられるケースとその計算は、
つぎの４通りです。
ケース１【アムロ 当たり　ブライト 当たり】
   　　　　　$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9}= \dfrac{6}{90}$
ケース２【アムロ 当たり　ブライト はずれ】
　   　　　　$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{7}{9}= \dfrac{21}{90}$
ケース３【アムロ はずれ　ブライト 当たり】
　　   　　　$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{9}= \dfrac{21}{90}$
ケース４【アムロ はずれ　ブライト はずれ】
　　　   　　$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9}= \dfrac{42}{90}$

ここで、注目してほしいのが、
　ブライトさんの分母は「9」
ということです。

メタン「え？　当たり前でしょ？
　　　　アムロくんが１本引いてるんだから」

そう！
　それこそ「時間の流れ」！

アムロくんの確率が先にあって、
　その後にブライトさんの確率を考える！

メタン「(確率A)×(確率B)　のときは、
　　　　まず Aで、その後 B！
　　　　これが時間の流れだぁ」

「アムロくん　 当たる」を　$A$
「ブライトさん 当たる」を　$B$
と書くと、
二人とも当たる確率　$P(A∩B)$
はこんな式になります。

    $P(A∩B)=P(A) \times P_A(B)$

メタン「まず、P(A)でアムロ当たり。
　　　　その後に、
　　　　ちっちゃく付いてる A が
　　　　『アムロが当てた…その後に』
　　　　っていう意味だね！」

その後に「ブライトも当てる！」
ってこと。

■残り物には福はある？

さて、
アムロくんが当たる確率はいくつ？

メタン「そりゃ、$\dfrac{3}{10}$ でしょ！」

そうね。
じゃあ、
ブライトさんが当たる確率は？

メタン「ケース１とケース３を
　　　　足せばいいから…」

ケース１【アムロ 当たり　ブライト 当たり】
  　　　　　$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9}= \dfrac{6}{90}$
ケース３【アムロ はずれ　ブライト 当たり】
　  　　　　$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{9}= \dfrac{21}{90}$

なので、「ブライトさんが当たり」の確率は
                    $\dfrac{6}{90}+ \dfrac{21}{90}= \dfrac{27}{90}= \dfrac{3}{10}$

　メタン「やっぱり、$\dfrac{3}{10}$！」

３人目にも引いてもらおう！
誰が引く？

メタン「アムロ（A）
　　　　　ブライト（B）だからぁ…
　　　　　　　赤い彗星（Char）！！」

赤い彗星さんが当たる確率も $\dfrac{3}{10}$ です。

（計算は３倍のスピードで省略）

メタン「何番目に引いても
　　　　当たる確率は同じなんです！」

つまり…

残り物に、福は…ない！

メタン「あくまでも、
　　　　　　数学的にはね！」

■追記

fibo「そういえば
　　昔、先生になりたての頃に、
　　この話とつながる
　　面白い話があったなぁ…」
メタン「え！何なに！
　　　　教えて下さい！」
fibo「ん～。
　　追記だと書ききれないから
　　次の【昔話編05】でね！」
メタン「楽しみーー！」

fibo「今日のテーマ
　　　　確率の『時間の流れ』
　　　が分かっていると、その後に習う
　　　　『条件つき確率』
　　　もスッキリ整理できるんだよね！
　　　つまり、これを３つのタイプに…」
メタン「すと～～～っぷ！
　　　　先生、そのネタは次回の
　　　　【数学編06】
　　　　でまた熱く語りましょう！
　　　　ワクワクするぅ！！」

おしまい

次回は、追記でもふれた【昔話編】！
（↓リンクはこちら）