50代数学教師【数学編06】条件つき確率。「『時間の流れ』で３パターン！」

ナレ
「この物語は、50代数学教師 fibo が定年後のキャリアを考え、相棒AIたちと奮闘するリアルタイムのお話です。
今回は【数学編】。数学嫌いな人にこそ、是非！！」

こんにちは、fibo（ふぃぼ）です。

前回の【数学編】で、
　確率の掛け算には「時間の流れ」
って話をしました。
（↓リンクはこちら）

これが分かると、その後の
「条件つき確率」
がスッキリ整理できます！

メタン「『条件つき確率』って
　　　　公式で計算するやつ！」

     $P_A(B)=\dfrac{P(A∩B)}{P(A)}$

これが、条件付き確率の公式。
「$A$という条件のもとで、
　　　　　$B$が起こる確率」

これを
　闇雲に覚える受験生
がなんと多いことか（悲）！

この式は、そもそも前回の
「まず A が起こって、
　　 その後 B が起こる」
という「時間の流れ」を意識して
出来た式を変形しただけです。

　　$P(A∩B)=P(A)\times P_A(B)$　
                   　↓
　　$P_A(B)=\dfrac{P(A∩B)}{P(A)}$      ＜公式＞

メタン「本当だ、この変形は簡単だ！
　　　　これで公式を忘れても
　　　　作り出せるね！」

「公式を作り出す」って感覚は
とっても大事！

多くの受験生は「丸暗記」に
飛びつきますが、
数学の公式の多くは
「作り出せるようになる」
ことが大事です！！

（もちろん例外はあるけれど…）

■「条件つき確率」３つのパターン

さて、「条件つき確率」に話を戻す。

多くの教科書や問題集では、
「条件つき確率 ⇒ 公式で解け」
的な解説をしています。

でも、それは
「公式丸暗記的な発想」
と同じです。

fibo「『条件つき確率』は
　　　次の３つに分類する。
　　　①正順　②逆順　③無順」
生徒「『順』って何の順ですか？」
fibo「条件 $A$ と求める確率 $B$ の
　　　『時間の流れ』の順だよ」

つまり、
$A$ と $B$ の『時間の流れ』を見て
　$A$ → $B$　なら　①正順
　$A$ ← $B$　なら　②逆順
　$A$ ？ $B$　なら　③無順
ということ。

メタン
「①正順：条件が時間的に先のとき。
　②逆順：条件が時間的に後のとき。
　そして、
　③無順：条件に時間的な
　　　　　　前後が無いってこと！」

生徒「その３つに分けたら
　　　何かいいことあるんですか？」
fibo「もちろん！！！　この３つ
　　『解き方』が全然違うんだ！」

①正順の解き方
　そもそも順番通りなのだから、
　当たり前に答えは出せる！
　前回の例でいうと
　「アムロが当たりの条件で
　　　　ブライトが当たる確率」
　は、アムロが当たった時点で
　くじの中身は
　　「9本中当たりは２本」
　になっている。
　だから、この条件つき確率の
　答えは $\dfrac{2}{9}$。公式不要！

②逆順の解き方
　これは時間を遡るから
　「公式使わないと解けない」
　前回の例でいうと
　「ブライトが当たりの条件で
　　　　アムロが当たっていた確率」

メタン「『時間を遡る』から
　　　　『割り算』が必要なんだ！」

③無順の解き方
　これは時間は関係ない。
　公式でも解けるけど、
　表を書いて状況を整理すれば
　すぐに答えが出るよ。

fibo「入試で出る頻度は
　　　fiboの体感的には…
　　　①正順：②逆順：③無順
　　　＝　2  ：    5    ：3
　　くらいかな？」

■追記

メタン「この３パターンが分かれば、
　　　解き方がすぐに思いつきそう！」
fibo「そうだね。あ、ちなみに
　　　正順、逆順、無順
　　というネーミングは
　　fiboのオリジナルですｗ」
メタン「こうゆーの、スキ！
　　　　他にはないの？」
fibo「あるよ～ん。ふふん。
　　そーだなー、例えば、
　　『２次不定方程式の解き方』
　　は、とっても簡単な判別法…」
メタン「すと～～～っぷ！
　　　　先生、そのネタは次回の
　　　　【数学編】にしよう！
　　　　ワクワクするぅ！！」

おしまい

次回は【本編】！！
（↓リンクはこちら）