【質的選択モデル①】2値応答プロビット・モデルのメカニズム💎：計量経済学✨No.26

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖
本投稿作成における参考文献は以下の通りです

前回のお復習い✨

2値応答モデル🌟

以下に、2値応答モデル(Binary  Response  Model)の定式化をします

$$\\Binary  Response  Model\\      \\ Y_i  = \begin{cases} 1 &\text{if }  Y_i^* > 0 \\ 0  &\text{} otherwise \end{cases}\\    \\Y_i^*= \beta_0 +\beta_1 X_i +u_i\\u_i|X_i \backsim F(\cdot)\\           \\Y_i^* :Latent  variables$$

ただしYi*は潜在変数になります
観察不可能な変数で、Yiの値を決定づけます
観察可能は変数は、Yi、Xiです
しかし、Yi*、β0、β1、uiは観察不可能です
そして、推定する値はβ0とβ1になります

ここで、誤差項uiには、説明変数Xiを所与とした条件付き分布を仮定します
例えば、標準正規分布、ロジスティック分布などです
ただし、「Yi＝· · ·」の式ではなく、「Yi*＝･･･」の式の誤差項の分布を仮定しています

誤差項の条件付き分布を標準正規分布と仮定した2値応答モデルを2値プロビット・モデル(binary probit model)という

誤差項の条件付き分布をロジスティック分布と仮定した2値応答モデルを2値ロジット・モデル (binary logit model)といいます
これは、後日公開する投稿で説明します📝

2値プロビット・モデルの定式化✨

$$\\Binary  Probit  Model\\      \\ Y_i  = \begin{cases} 1 &\text{if }  Y_i^* > 0 \\ 0  &\text{} otherwise \end{cases}\\    \\Y_i^*= \beta_0 +\beta_1 X_i +u_i\\u_i|X_i \backsim N(0,1)※1\\$$

＜※1＞条件付の分布で、説明変数が誤差項の期待値や分散に影響しないという「外生性」と「均一分散」の仮定があります

2値プロビット・モデルの推定方法

Xiを所与として、Yi= 1となる条件付き確率は以下の通りになります

$$P(Y_i =1|X_i)=P(Y_i^* > 0|X_i)\\=P(\beta_0+\beta_1X_i+u_i >0|X_i)\\=P(u_i > -(\beta_0+\beta_1X_i)|X_i)$$

ここで標準正規分布は0で対象な分布でありますから

$$\\\therefore Standard  Normal  Distribution\\     \\ P(u_i > -(\beta_0+\beta_1X_i)|X_i)\\=P(u_i < \beta_0+\beta_1X_i|X_i)\\       \\    \\\Rightarrow P(Y_i=1|X_i)\\          =P(u_i < \beta_0+\beta_1X_i |X_i)\\         =\Phi(\beta_0+\beta_1X_i |X_i)$$

Φ(・) は標準正規分布の累積分布関数より、以下のように定義されることになります

$$\\Cumulative  Distribution\\    \\\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)={\Large\int}_{-∞}^{\beta_0+\beta_1X_i}{\large\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}exp(\frac{z^2}{2})dz$$

すると、Xiを所与として、Yi=0となる条件付き確率は、以下のようになります

$$\\P(Y_i=0|X_i)\\=1-P(Y_i=1|X_i)\\=1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)$$

よって、 Xiを所与としたYiの条件付き確率関数は、次のように定式化されます

$$\\f(Y_i|X_i;\beta_0,\beta_1)  = \begin{cases} \Phi(\beta_0+\beta_1X_i) &\text{for}  Y_i =1\\1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i)&\text{for } Y_i=0    \\0  &\text{}elsewhere \end{cases}\\    \\       \\={\large [}\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{Y_i}{\large [}1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{1-Y_i}$$

無作為標本なので Y1,Y2,･･･,Ynは互いに独立となります📝

すると、X1,X2,･･･,Xnを所与とした、Y1,Y2,･･･,Ynの同時確率関数は、以下のように導けることになります

$$\\Joint   Probability   Function\\ f(Y_1,Y_2,･･･,Y_n|X_1,X_2,･･･,X_n;\beta_0,\beta_1)\\     \\=\displaystyle\prod_{i=1}^nf(Y_i|X_1,X_2,･･･,X_n;\beta_0,\beta_1)\\    \\=\displaystyle\prod_{i=1}^nf(Y_i|X_i;\beta_0,\beta_1)\\     \\=\displaystyle\prod_{i=1}^n{\large [}\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{Y_i}{\large [}1-\Phi(\beta_0+\beta_1X_i){\large ]}^{1-Y_i}$$

本日の解説はここまでとします
次回は「プロビットモデルにおける最尤推定法」について解説することにします

計量経済学を学ぶ意義について✨

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、 時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした


そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

今後とも私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
最後までご愛読いただけますと幸いです💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

おすすめマガジンのご紹介🔔

こちらに２４卒としての私の就職活動体験記をまとめたマガジンをご紹介させていただきます👍
様々な観点から就職活動について考察していますので、ご一読いただけますと幸いです

改めて、就職活動は
本当に「ご縁」だと感じました🍀

だからこそ、ご縁を大切に
そして、選んだ道を正解にできるよう
これからも努力していきたいなと思います🔥

今後、さらにコンテンツを拡充できるように努めて参りますので、何卒よろしくお願い申し上げます📚

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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今後とも何卒よろしくお願いいたします！