【線形確率モデルの基礎📈】今日、阪神タイガースが甲子園で"アレ"する確率は？🔥：計量経済学✨No.25

2023年9月14日 07:45

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦

現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖
本投稿作成における参考文献は以下の通りです

前回のお復習い✨

線形確率モデル(linear probability model; LPM)🌟

この投稿から、プロビットモデルの分析を
進めて行くことにします
まずは、線形確率モデル(linear probability model; LPM)をご紹介します☺️

このモデルの定義は「被説明変数(Yi)がダミー変数である線形回帰モデル」となります

$\\Linear Probability Model: LPM\\ \\Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i\\E(u_i|X_i)=0$

上記の式のパラメータを最小2乗法(OLS)で
推定することができます

そして、ダミー変数についてですが
これは定義にあるように被説明変数(Yi)が
対応しています

すなわち、大きさnの2変量無作為標本 ((Y1,X1),(Y2,X2),…,(Yn,Xn))を用いて
YをXに回帰することをこのモデルでは考えています

ただし、Yiは、0または1の値をとる
ダミー変数 (dummy variable)です

例えば、阪神タイガースが勝利するなら1、しないなら0
ある個人が阪神タイガースを応援するなら1、しないなら0

このような値を取っていくダミー変数であることをご認識いただけますと今後の理解が深まるのかなと思います👏

線形確率モデルの問題点💦

線形確率モデル(linear probability model; LPM)の問題点は2つあると考えられています

1つ目の問題点は、被説明変数の値が
1 になる確率(Probability)を予測すると
0を下回ったり、1を上回ったりするというように理論的な整合性と乖離する可能性があるということです

2つ目の問題点は、誤差項(ui)に不均一分散(Heteroscedasticity)が発生することが
想定される点です

条件付き期待値と予測値

線形確率モデルの OLS 推定量(^を付けて表記)を元の式に代入し、誤差項uiを除くと、下記の式で被説明変数の値を予測できます

$\hat{Y_i}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i\\ \\\to E(Y_i|X_i)=\beta_0+\beta_1X_i$

ただし、Yi^はYiの予測値です
この予測値の解釈は「Xiがこの値のときにYiはどのような値になる傾向があるのか」を表していることがポイントです

したがって、Yi^は、Xiを所与としたYiの条件付き期待値を予測したものと解釈できるのです

線形確率モデルにおける条件付き期待値

被説明変数(Yi)がダミー変数ならば
以下の関係が成立します

$E(Y_i|X_i)\\=0\cdot P(Y_i=0|X_i)+1\cdot P(Y_i=1|X_i)\\=P(Y_i=1|X_i)$

この関係式の解釈は「Yiの条件付き期待値」が「Yiの値が1になる条件付き確率」と同じになるということです

すなわち、Yi^を計算すると
「Yiの値が1になる条件付き確率」を予測していることになるということですね👏

しかし、ここで1つ目の問題点が露呈します
予測値(Yi^)すなわち「Yiの値が1になる
条件付き確率の予測値」は0を下回ったり
1を上回ったりするということです💦

線形確率モデルの誤差項の分散

被説明変数(Yi)がダミー変数なら
線形確率モデルの誤差項の分散V(ui|Xi)は
以下のようになります📝

$V(u_i|X_i)=(\beta_0+\beta_1X_i)[1-(\beta_0+\beta_1X_i)] \\ \\Proof\\ Var(u_i|X_i)\\=E(u_i^2)-E(u_i)^2\\ \\=(-P_i)^2(1-P_i)+(1-P_i)^2P_i\\=P_i-P_i^2 =P_i(1-P_i)$

これは、誤差項(ui)の分散が
説明変数(Xi)に依存しているということです

つまり、第二の問題点としてあげた
「不均一分散の存在」があります

ただし、仮説検定の際に、不均一分散に対して頑健な標準誤差を用いることである程度
対処可能であると言われています📝

また「誤差項(ui)は、正規分布には従わない」ということも線形確率モデルの誤差項が有する特徴であると言えます

これらの問題を解決するには、2値応答モデル(binary response
model)を仮定することが必要になります

2値応答モデルは質的選択モデル(qualitative choice model)の1つであることを覚えておいていただきたいですね💛

2値選択モデルのイメージ✨

被説明変数(Yi)は、0または1という
2つの値を取ります

この図より、予測値(Yi^)が、1もしくは
0を超えてしまうことがあるということが
見受けられますね💦

線形確率モデルは、OLS推定可能ですが
不均一分散の存在により予測確率の範囲で問題があると言えます

本日の解説は、ここまでとします

次回も引き続き計量経済学のテーマにおける「2値応答モデル・プロビット・モデル」を
解説します

阪神タイガースには、18年ぶりの
セリーグ優勝を今日決めて欲しいですね☺️

計量経済学を学ぶ意義について✨

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

今後とも私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
最後までご愛読いただけますと幸いです💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！