書記が数学やるだけ#922 イデアル類群におけるミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理をイデアル類群に適用していく。

問題

説明

ミンコフスキーの定理（Minkowski's theorem）は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。

具体例について参考：

ミンコフスキーの定理は、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。中でも，ミンコフスキー限界から代数体の類数は有限であることが示される。

解答

ブリクフェルトの定理は「格子の基本領域よりも大きな体積を持つ集合を格子状に並べると、必ず重なりが生じる」という鳩の巣原理の幾何学版である。

ブリクフェルトの定理を利用することで、ミンコフスキーの定理（原点対称な凸集合が十分な体積を持てば、原点以外の格子点を含むこと）が導かれる。

代数体 K の整数環を n 次元空間の格子と見なし、その体積 d(L) を判別式 ΔK  を用いて計算する。

ここで特殊な凸集合 S を設定し、ディリクレ積分を用いてその体積 V(S) を求める。これらをミンコフスキーの定理の条件に代入し、相加相乗平均の不等式を適用することで、ミンコフスキー限界が導かれる。

以上より、すべてのイデアル類にはノルムが MK  以下の整数イデアルが必ず存在することから、類群の有限性が証明される。

2次体の類数決定は以前に扱った：

純3次体の類数決定について、導き出した MK  を用いて具体的な体の類数を計算する。判別式 ΔK =−1323 より、ミンコフスキー限界 MK ≈10.28 となる。ノルムが 10.28 以下の素イデアルをリストアップし、素数 p=2,3,5,7 の分解を調べると、候補となるイデアルは {p2 ,q2 ,p3 ,p7} である。あとは単項イデアルかどうか調べることで、類群 CK  は Z/3Z と同型である（類数は3）ことがわかる。

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