書記が数学やるだけ#851 確率変数の収束の強弱

確率変数の収束の強弱について詳しく調べておく。

問題

説明

各収束の性質については以前の記事を参照：

統計学で頻用の平均2乗収束を一般化したものが，Lp-収束である。

弱収束は確率測度における収束であり，分布収束は分布の弱収束ともいうことができる。

解答

概収束するならば確率収束することを示す。

逆は成り立たないことを反例により示す。

Lp-収束するならば確率収束するが，逆は成り立たない。

確率収束するならば分布収束するが，逆は成り立たない。

収束の強弱をまとめると以下の通り。

確率収束するならば概収束するための条件を示していく。

これを用いて，確率収束における連続写像定理を示す。

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