書記が数学やるだけ#728 多様体における微分形式-1

多様体から微分形式を見るときのポイントを整理する。

問題

説明

微分形式は以下に示す共変テンソル場であり，多重線形性と交代性を特徴とする。

外積代数は交代性により基礎づけられる：

外微分と引き戻しについて，具体例を以前扱った：

解答

1次微分形式は余接ベクトル空間を考えることで示すことができる。ここで双対関係を示しておく。

多様体で考える際に重要なのは局所座標表示である。1次微分形式については簡単に示すことができる。また，全微分との関係も示しておく。

座標変換について，以前扱った局所座標変換の公式を駆使する。

引き戻しについても局所座標表示を考えておく。

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