書記が数学やるだけ#923 ディリクレの単数定理

代数的整数論の重要な定理であるディリクレの単数定理を証明する。

問題

説明

整数環における1の約数を基本単数 ，単数全体からなる集合を単数群 という。

2次体の単数群について：

一般に単数群は有限生成であり，単数は基本単数の積として一意に表される（ディリクレの単数定理）。

解答

証明の冒頭では，ミンコフスキーの定理よりノルムが一定以下の整数 α が無数に存在することを利用して、単数を作り出す。

例えば実2次体Q(√2)の場合，判別式=8よりノルムの絶対値は√8以下となる整数αが無数に得られる。

ノルムの絶対値が有界な相異なる単項イデアルは有限個しか存在しない一方，ノルムが有界な整数の無限列 α1 ,α2 ,α3 ,… があるとき，鳩の巣原理より同一のイデアルを生成するペアがあり，その比 ηは単数となる。

Q(√2)において，例えばa2=3+2√2とa4=17+12√2を取ると，イデアルは同一であることからその比ηは単数となる。

証明の中盤では、積の構造を持つ単数群を、和の構造を持つベクトル空間へ写像（対数埋め込み）する。

単数 η1 ,…,ηr  を選び、それらが独立であることを行列式≠0 によって示す。ここで特定のの条件（対角成分が正，非対角成分が負，行の和が正）を満たす r×r 行列 C=(cij ) は正則であることを利用する。

具体的な計算は以下の通り。ここではr=1より1×1行列式を計算する。

任意の単数 ϵ を取ったとき，その対数ベクトルを独立な単数の対数ベクトルの一次結合で表す。ここでℓ(i)ϵ_0  の値が有界であるような単数 ϵ_0  は有限個しか存在しないことが示せる。

これにより、単数群 G における部分群 H の指数 (G:H) が有限であることが結論づけられる。

この手順により，最も小さな単数を求めることができる。

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