書記が物理やるだけ#362 量子力学におけるベッセル関数，レイリーの展開公式

部分波展開の準備として，ベッセル関数とレイリーの展開公式についてあらかじめ計算しておく。

問題

説明

ベッセル関数は，惑星の軌道運動に関するケプラー方程式をベッセルが解析的に解いた際に導入された。ベッセル解はラプラス方程式またはヘルムホルツ方程式の円柱座標系および極座標系における分離解として見出される。

以前，第1種ベッセル関数の計算をいくつか扱った：

もう一つ，第2種ベッセル関数（ノイマン関数）について。

球座標系において，球ベッセル関数と球ノイマン関数が以下のように定義される。また，ベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える表式としてハンケル関数（球ハンケル関数）が定義される。

解答

自由粒子の動径方向の波動関数は，変数変換によりベッセルの微分方程式に変換できる。ここで，ρの大小による解の挙動を示しておく。

級数解を代入して漸化式を示すことで，解はベッセル関数であることがわかる。

レイリーの展開公式は，部分波分解の際に必要になる。ここで，波動方程式の解を球ベッセル関数で表すことを考える。

両辺を積分してルジャンドル多項式の直交性を考えることで，係数が求められる。

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