書記が数学やるだけ#882 ラプラスの方法

ラプラス積分に対し有効な近似であるラプラスの方法を紹介する。

問題

説明

ラプラスの方法は，特に指数関数的に減衰する関数の積分の評価に適している。

解答

まずφ(x)が単調変化の場合の近似について，これは単に部分積分の結果を整理したものである。

ラプラスの方法では，極大値にピークがある被積分関数について無限小幅に積分区間を縮小し，その点におけるテイラー展開を行い，その後無限大幅に積分区間を拡大することで近似計算する。

(1)はラプラス積分，(2)はラプラスの方法で近似できる。

ラプラスの方法を用いて，階乗の近似式であるスターリングの公式を示すこともできる。

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