書記が数学やるだけ#862 円周・トーラスの基本群
基本群の計算として，円周・トーラスの基本群を扱っていく。
問題
説明
円周の基本群はZと同型であることは，持ち上げを考えることで示すことができる。持ち上げの詳細は被覆空間を扱う際に詳述する。
今回は代数学の基本定理について，円周の基本群を用いた証明を示す：
解答
今回は持ち上げの一意性が成立する前提で進める。持ち上げの回転数は，何回円周を回るかを示す値であり，これより円周の基本群はZと同型であるがいえる。
円周の基本群は，円周をn周重ねたものとして表せる。
トーラスの基本群は，直積より格子点からなる平面空間と同値であり，任意の元は2つのループで示すことができる。
代数学の基本定理について，根が存在しないと仮定してホモトピーを考える。
ホモトピックな道であるが回転数が違うという矛盾から定理が示される。
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