書記が数学やるだけ#796 ポアソン過程
確率過程の例として，ポアソン過程の性質を計算していく。
問題
説明
ポアソン分布について復習：
ポアソン過程は，単位時間あたりの発生回数がポアソン分布となる確率過程である。
ポアソン過程は，回数から見るとポアソン分布，時間から見ると指数分布から構成されていると言える。
例えば，1分あたりに平均1人の客が来る店で，1分後に何人来るかの確率はλ=1のポアソン分布に従う。
一方で，次に客が来るまでの時間はλ=1の指数分布に従う。
λ=1のポアソン過程を以下に図示する。
解答
単位時間あたり1人来る確率が単位時間×λ（到着率）である場合，Ntはポアソン過程であることを計算で確かめる。ここで，定常独立増分であることが重要になってくる。
ポアソン分布は，式だけ見るとよくわからない形をしているが，身近な事象によく当てはまる分布である。
ポアソン過程の期待値・分散・共分散を求める。ここで，NsとNtは独立でない点に注意。
いくつか計算練習，定常独立増分による式変形が重要。
ポアソン過程から指数分布の存在を示す。なお，単位時間あたりを拡張するとガンマ分布に従うことが言える。
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