書記が数学やるだけ#915 代数体の整数環と整数基底
整数基底の性質及び計算例を示す。
問題
説明
2次体については以下を参照：
整数環とは，K に含まれるすべての整な元（有理整数係数の単多項式の根）からなる環のことを指す。
一般の代数体におけるトレース・ノルムの定義について。
判別式については以下の通り。
解答
補題1は，α の最小多項式の分母を払って最高次係数を 1 に調整する手法で証明される。
補題2について，α の共役もすべて代数的整数であり，その和であるトレースは代数的整数かつ有理数なのでZ に属する。
「整数環が n 次元の広がりを持っていること」と「無限に細かくならず、ある格子の枠内に収まっていること」の2つを証明することで，n 個の基底（整数基底）の存在を導き出す。
トレースと判別式を定義に従って計算する。
ここではは「双対基底で作る加群が OF を包み込む」ことを確認した。
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