書記が数学やるだけ#618 離散量の不動点定理，ボルスク・ウラムの定理

位相空間の終盤で扱った不動点についての入試問題を見ていく。

問題

離散量の不動点定理を知らないと厳しい問題。

説明

不動点について，以前は連続写像について見ていった：

解答

条件より，1を2に，2を3にと写していくと，nをn+1とはならないため，どこかでmをmに写すことになる。グラフで示すと状況がわかりやすいだろう。

この東大の問題も，上と同じようにすれば容易に構造がわかる。

これはボルスク・ウラムの定理の1次元に相当し，以前の記事でも扱った。今回は例えとして「気温は赤道上で連続とするとき，赤道上には地球の裏側と気温の等しい地点が必ず存在する」ことを示すこととした。

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