書記が数学やるだけ#908 スターリング数とベルヌーイ数，フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理

スターリング数とベルヌーイ数の関係について。

問題

説明

スターリング数とベルヌーイ数の定義は以下を参照。

スターリング数はベルヌーイ数を用いて以下の式で表すことができる。

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理（Von Staudt–Clausen theorem）は、数論におけるベルヌーイ数 B2n  の小数部分に関する定理であり，「n を正の整数、p を 2n が p−1 で割り切れるような素数とするとき、ベルヌーイ数 B2n  に、そのようなすべての 1/p  を加えた和は整数になる」ことを示している。これは、カール・フォン・シュタウト（Karl von Staudt, 1840年）とトーマス・クラウゼン（Thomas Clausen, 1840年）が独立に発見した。

解答

ベルヌーイ数の母関数を変形することで，第2種スターリング数による表示が得られる。

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理を証明するためにいくつか補題を示す。(i)(ii)はそれぞれベルヌーイ数の一要素における剰余を場合分けして示しており，これらはフェルマーの小定理から証明される。

(iii)はa,b>2のときに成り立つ補題である。

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理の照明の核心は，ベルヌーイ数の表式の分数が割り切れるかどうかにある。

j+1が4より大きい合成数であれば，(iii)よりj!はj+1で割り切れるので，B2nは整数である。またj+1=4のとき，分数と第2種スターリング数を整理してB2nは整数であることが示せる。

j+1が素数pの場合は，p-1が2nで割り切れるなら(i)を用いて各項が1/pの寄与をもつこと，p-1が2nで割り切れないなら(ii)を用いることで各項は整数となることが示せる。

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