書記が論文読むだけ#314 2次元イジング模型

前回1次元イジング模型を扱った流れで，2次元イジング模型について見ていく。

問題

説明

1944年にラルス・オンサーガーが2次元イジング模型の厳密解を求め，相転移を起こすことを示した。一方で厳密解以外にも，平均場近似や繰り込み群，
級数展開（低温展開，高温展開）の手法などによる近似解が知られている。

平均場近似は，多体系を扱う場合に多体の効果をある平均的なもの（平均場）とみなす近似であり，これを解くためのセルフコンシステント（自己無撞着）な方程式を導き出し，これを解くことにより求めるべき解が得られる。

以前に示したハートリー近似（ハートリー‐フォック近似）も平均場近似の一例である：

ギンツブルグ-ランダウ理論は，1950年にロシアで発表された超伝導を説明する現象論で，ランダウの相転移の理論と平均場理論を基にしている。今回はランダウ理論のうちランダウ展開（ランダウの自由エネルギー）を用いる。

解答

平均場近似を用いて分布関数を示す。

これによりmについてのセルフコンシステント方程式が導出できる。

これは解析的には解けないので，以下のようにグラフを用いて解くことにする。相転移温度を境界として，Tが高いときには，交点はm=0のみで系の磁気モーメントが0の場合となる。一方でTが低いときには，m=0以外の交点を有することとなり，相転移が生じている。

ランダウ展開では，自由エネルギーを以下のような関数で近似する。

これにより得られた相転移温度は，平均場近似によるものと同じである。

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