書記が数学やるだけ#914 代数的整数の性質

代数的整数論について環論的方法をベースに組み立てていく。

問題

説明

以前に「代数的」という語は体論の文脈で用いてきた。

参考：

多項式の解になる数を代数的数，ならない数を超越数という。

参考：

代数的整数とは，最高次の係数が 1 である整数係数の方程式（モニック多項式）の解となる複素数と定義づけられる。代数的数との違いはモニックか否かにある。

「代数的整数」の考え方を、環の言葉を使って一般化したのが「整拡大」という概念である。

解答

ある数 α が代数的な整数であるかどうかを判定するには、方程式を探す以外に「加群」を使う方法がある。
(i) ⇒ (ii) : α のべき乗で作られる加群 M=Z[1,α,…,α^n−1] を考えると、α^n が元のべき乗の組み合わせで書けるため、αM⊂M が成り立つ。

(ii) ⇒ (i) : 線形代数の「ケーリー・ハミルトンの定理」に似た手法を使い，行列の固有値問題のように考えることで，モニックな多項式を導き出すことができる。

ここで「係数が代数的整数であるような多項式の根も、また代数的整数である」という性質を示しておく。これは整拡大の推移性を示している。

α=2/1 は，2x−1=0 という整数係数の方程式の解なので代数的数ではあるが，代数的整数にはなれない。一般に，有理数のうち代数的整数であるものはは有理整数に限られる。

√2 と√ 3はそれそれ代数的整数であり，その和について生成するZ加群の積は(ii)を満たすため代数的整数である。一般に，代数的整数の集合は「和・積」について閉じている。

本問題は②の「係数が代数的整数であるような多項式の根も、また代数的整数である」という性質から代数的整数であると示せる。

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