書記が数学やるだけ#773 3次・4次方程式の解の構造-1
ガロア理論のまとめとして，方程式の解の構造をまとめていく。
問題
説明
3次方程式・4次方程式の解の公式をまとめておく。
3次方程式：
4次方程式：
今回はラグランジュの方法の一部を示す。ラグランジュは，三次方程式や四次方程式の代数的解法を分析し，根の置換という代数方程式論の方向性を決定づける重要な概念に到達した。この研究はガロア理論の発見へと繋がっていった。
5次以上の代数方程式の代数的解法の存在については，パオロ・ルフィニ、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ニールス・アーベルらの研究がアーベル-ルフィニの定理として結実し，否定されることになるが，彼らの研究は，このようなラグランジュの研究を源流としている。
解答
3次方程式についてラグランジュの分解式を適用する。
これによりLはT^3-γのM上最小多項式，MはT^2+27a0T-27a1^3のK上多項式であることがわかり，さらにガロア対応により群との関係を示すことができる。
次に4次方程式について，ここではクラインの4元群Vが重要になってくる。
これにより，4次方程式は3次の分解方程式を解くことに帰着できる。
ガロア対応について以下に示す通り。β^2による体がクラインの4元群Vに対応している。
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