書記が数学やるだけ#684 テプリッツの定理

正規行列の対角化にまつわる定理を示す。

問題

説明

テプリッツの定理は，正規行列がユニタリ行列で対角化できることを示している。

解答

まず正規行列に関する性質を列挙する。

テプリッツの定理を示す鍵は同時対角化である：

具体例として以下のような行列を考えてみる。ブロック行列として考えることで見通しが良くなる。

同時対角化と因数分解の例について。余因子展開で地味にやるのもいいが，対称性に注目することで簡単に計算できるようになる。ちなみに，ここで示した行列式は四次方程式のオイラーの解法で登場し，これにより三次方程式に帰着させることができる。

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