書記が数学やるだけ#909 ディリクレ指標の具体例

ディリクレ指標について具体例を通して見てみる。

問題

説明

ディリクレ指標とは、ディリクレが L 関数を定義する際に導入した、整数から複素数への関数である。これはルジャンドル記号を一般化したものとみなすことができる。

ディリクレ指標は、有限アーベル群 (Z/NZ)× の1次元指標を、算術的に扱いやすい形で Z 上に拡張したものとも言える。

また、ディリクレ指標を用いてガウス和を定義し、その値を計算することができる。

解答

・m=3 を法とするディリクレ指標

(Z/3Z)× は位数 2 の巡回群であり、その生成元 2 の指標 χ(2) の像は、位数が 2 であることから 1 の 2 乗根 {1,−1} のいずれかとなる。したがって、指標の値は ±1 となる。

・m=4 を法とするディリクレ指標

(Z/4Z)× は位数 2 の巡回群であり、その生成元 3 の指標 χ(3) の像は、位数が 2 であることから 1 の 2 乗根 {1,−1} のいずれかとなる。 また、元 2 については法 4 と互いに素でないことから、χ(2)=0 となる。

・m=5 を法とするディリクレ指標

(Z/5Z)× は位数 4 の巡回群であり、その生成元 2 の指標 χ(2) の像は、位数が 4 であることから 1 の 4 乗根 {1,i,−1,−i} のいずれかとなります。 したがって、 χ(2) の像を 1 の原始 4 乗根 ζ_4​=exp(2πi/4) を用いて χ(2)=ζ4k​（k=0,1,2,3）とおけば、4種類の指標が得られる。

・m=8 を法とするディリクレ指標

(Z/8Z)× は位数 ϕ(8)=4 の群であり、非巡回群である（クラインの四元群 C2​×C2​ と同型）。 この群は、生成元 3 と 5 の二つによって記述されます。

• 生成元 3 の位数と 5 の位数はそれぞれ 2

• 指標 χ の像 χ(3) と χ(5) は、いずれも位数が 2 であることから 1 の 2 乗根 {1,−1} のいずれか

この χ(3) と χ(5) の組み合わせ（2×2=4 通り）によって、4種類の指標が得られる。

・m=12 を法とするディリクレ指標

(Z/12Z)× は位数 ϕ(12)=4 の群であり、非巡回群であり（クラインの四元群 C2​×C2​ と同型）、生成元 5 と 7 の二つによって記述される。以下同様。

以上求めたディリクレ指標を用いてガウス和を計算していく。重要な法則として，χ が原始的 (primitive) な指標の場合，絶対値は√m であることが知られている。

「有限アーベル群の指標のなす群が，もとのアーベル群と同型」という双対性について具体例を示しておく。一般の証明では，有限アーベル群の基本定理を用いて問題を「巡回群」の場合に帰着させることで行う。

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