書記が数学やるだけ#734 最小分解体の存在性と一意性

最小分解体について詳細を追うことにする。

問題

説明

後に最小分解体とガロア拡大を結びつけていく。

以前の説明：

解答

存在については帰納法により容易に示せる。

一意であることを示すのは大変で，以下のような写像の存在を考えていく。

ここで最小多項式を用いて体の同型を示していく。

さらに以下のような延長における写像を考えていく。

以上より体の同型が存在し，一意性が示せた。

具体例を見ていく，ここでは1根加えた体と最小分解体は一致するとは限らない点に注意。

有限体Fpについては，pを4で割った余りで場合分けが必要になる。

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