書記が数学やるだけ#924 相対代数体の性質

ヒルベルト理論の準備として相対代数体の性質を確認する。

問題

解説

体の塔に対し相対ノルムの推移性が成り立つことを示す。

これにより，相対ノルムの「共役の積による定義」から「素イデアルの指数による定義」を導出する。

以前示した次数関係式は相対ノルムでも成り立つ。

参考：

ガロア拡大に限定すると，分岐指数と相対次数は全て等しくなり，次数関係式は単純になる。

参考：

p=3 の分解について中間体での挙動を調べると、k3  で既に 2 つの素イデアルに分解しているため、ガロア拡大の性質（推移的作用）から K でも g≥2 となる。全体の次数 n=4 に対し、n=efg の関係式に各値を当てはめると 4=1×2×2 となり、最終的に 2 つの素イデアルへ分解され、各剰余類次数は f=2 と決定される。したがって相対ノルムは、定義 NK/Q (P)=pf に基づき 3^2=9 と計算される。

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