書記が数学やるだけ#772 ヤーコプスタール和，2次体を用いたフェルマーの最終定理（n=3）の証明

問題

説明

ヤーコプスタール和とは，ガウス和と関連するルジャンドル記号の有限和であり， Jacobsthal (1907) によって導入された。

解答

今回はヤーコプスタール和の特殊例を用いる。

この辺は数列和の計算問題である。

ヤーコプスタール和の2乗和を計算することで，フェルマーの2平方和定理の具体的な表示が得られた。

n=3のフェルマーの最終定理について，以前に特殊例を扱った：

レオンハルト・オイラーは1753年にクリスティアン・ゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し，1760年に純初等的で完全な証明を得た。

まずx,y,zの偶奇性を示し，z^3を因数分解する。

まずaが3で割り切れない場合，2aとa±b√3は互いに素である。これを利用して無限降下法を適用することで矛盾が示せる。

aが3で割り切れる場合も無限降下法で矛盾が示せる。

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