電気数学のお勉強｜図形｜立方体の対角線の長さの求め方

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立方体の対角線の長さは、

 

立方体の辺の長さに $\sqrt{3}$ をかける

 

と求められます。

 

 

なので、例えば、辺の長さが $a$ の立方体の場合には、

 

 

対角線の長さは、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{3}$ $=a\times\sqrt{3}$ $=\sqrt{3}\, a$

 

 

となります。

 

 

また、辺の長さが $10$ の立方体の場合には、

 

 

対角線の長さは、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{3}$ $=10\times\sqrt{3}$ $=10\sqrt{3}$

 

 

となります。

 

 

このように、立方体の対角線の長さは、辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけるだけで求められます。$\sqrt{3}$ をかけるだけなので簡単ですね！

 

 

 

立方体の辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけると対角線の長さになるのはなぜか？

立方体の辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけると対角線の長さになるのはなぜでしょうか？

 

これは、三平方の定理を使って対角線の長さを求めてみると分かります。

 

次のように、辺の長さが $a$ の立方体があるとします。

 

 

この立方体に対角線 $\mathrm{AG}$ を書いてみると、

 

 

となり、立方体の中に対角線 $\mathrm{AG}$ を斜辺とする直角三角形 $\mathrm{AEG}$ ができます。

 

 

ここで、$\mathrm{EG}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

$\mathrm{EG} =\sqrt{a^2+a^2} =\sqrt{2a^2} =\sqrt{2}\, a$

 

$\therefore\mathrm{EG} =\sqrt{2}\, a$　…①

 

となります。

 

 

また、$\mathrm{AE}$ の長さは立方体の辺の長さなので、

 

$\therefore\mathrm{AE} =a$　…②

 

となります。

 

したがって、①、②より、直角三角形 $\mathrm{AEG}$ は、次のような直角三角形になります。

 

 

この直角三角形 $\mathrm{AEG}$ の斜辺 $\mathrm{AG}$ の長さ、すなわち、立方体の対角線 $\mathrm{AG}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

対角線 $\mathrm{AG} =\sqrt{(\sqrt{2}\, a)^2 +a^2}$ $=\sqrt{2a^2+a^2}$ $=\sqrt{3a^2}$ $=\sqrt{3}\, a$

 

 

となります。

 

 

③式は、「辺の長さ $a$ を $\sqrt{3}$ 倍すると対角線の長さになりますよ！」ということを表わしているので、つまり、立方体の辺の長さと対角線の長さの比は常に、

 

辺の長さ：対角線の長さ $=1$：$\sqrt{3}$

 

になることになります。

 

 

なので、立方体の場合、

• 辺の長さが $1$ の場合、対角線の長さは $1\times\sqrt{3} =\sqrt{3}$
• 辺の長さが $2$ の場合、対角線の長さは $2\times\sqrt{3} =2\sqrt{3}$
• 辺の長さが $3$ の場合、対角線の長さは $3\times\sqrt{3} =3\sqrt{3}$　…

となり、辺の長さがどんな長さであっても、

 

辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけると対角線の長さ

 

になります。

 

 

 

対角線の長さを求めるときに使っている三平方の定理についてもうちょっと詳しく知りたい方は、こちらの三平方の定理（ピタゴラスの定理）のページを参考にしてみてください。

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