電気のお勉強｜電気磁気学｜電界中の電子の運動

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電界中にある電子は電界から力（静電力）を受けるので、電界の中に電子を置くと電子は動き出します。

 

 

 

また、次の図のように電界に電子が突入すると、電界の中では電子は電界から力を受けるので、電界の中を進む電子の方向は曲がります。

 

 

このように、電子は電界から力を受けるので、電界の中に電子を置くと電子は動き出し、また、電界に電子が突入するとその進む方向が変わったりします。

 

電界の中にある電子は常に電界から力を受けるので、電界中の電子はじっとその場に留まることはなく、動いてしまうんです。つまり、電界中にある電子は、何かしらの運動をする（動く）ことになります。

 

では、電界中の電子はどのような運動をするのでしょうか？

 

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電界中に電子を置いたときの電子の運動

まず初めに、電界中に電子を置いたときの電子の運動について考えてみましょう。

 

電子の電荷を $-e$［$\mathrm{C}$］、電界の強さを $E$［$\mathrm{V/m}$］とすると、電界 $E$ の中にある電子は、電界の向きと反対向きに $F=eE$［$\mathrm{N}$］の大きさの力を受けます。

 

なので、例えば、次の図のように電界の強さが $E$［$\mathrm{V/m}$］の一様な電界中に電子を置いてみると、

 

 

電子は電界の向きと反対向きに $F=eE$［$\mathrm{N}$］の力を受けるので、電子は電界の向きと反対方向に動き出します。

 

 

このとき、電子は $F=eE$［$\mathrm{N}$］の一定の大きさの力を受けて動くので、電子の質量を $m$［$\mathrm{kg}$］、電子の加速度を $a$［$\mathrm{m/s^2}$］とすると、電子の運動方程式は、

 

$ma=eE$　…①

 

となります。この①式から電子の加速度 $a$ を求めてみると、

 

$ma=eE$ より、

 

 

となります。ここで、この②式の右辺をみてみると、

• $e$ ：電子の電荷の大きさなので $e$ は一定値
• $E$ ：一様な電界 $E$ なので $E$ は一定値
• $m$ ：電子の質量なので $m$ は一定値

なので、②式の電子の加速度（②式の左辺）も一定の値になります。

 

すなわち、一様な電界中に電子を置くと、電子は加速度が一定の等加速度運動をします。

 

 

ちなみに、求めた②の電子の加速度 $a$ より、$t$ 秒後の電子の速度 $v$、電子の移動距離 $x$、電子の運動エネルギー $W$ を求めてみると以下のようになります。

 

t秒後の電子の速度

初速度がゼロの場合の速度 $v$［$\mathrm{m/s}$］は、加速度を $a$［$\mathrm{m/s^2}$］、時間を $t$［$\mathrm{s}$］とすると、$v=at$ と表わされるので、$t$ 秒後の電子の速度 $v$［$\mathrm{m/s}$］は、

 

$v=at=\dfrac{eE}{m} t$

 

 

になります。

 

 

t秒後の電子の移動距離

初速度がゼロの場合の移動距離 $x$［$\mathrm{m}$］は、加速度を $a$［$\mathrm{m/s^2}$］、時間を $t$［$\mathrm{s}$］とすると、$x=\dfrac{1}{2} at^2$ と表わされるので、$t$ 秒後の電子の移動距離 $x$［$\mathrm{m}$］は、

 

$x=\dfrac{1}{2} at^2=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{eE}{m}\right) t^2=\dfrac{eE}{2m} t^2$

 

 

になります。

 

 

t秒後の電子の運動エネルギー

電子の運動エネルギー $W$［$\mathrm{J}$］は、電子の質量を $m$［$\mathrm{kg}$］、電子の速度を $v$［$\mathrm{m/s}$］とすると、$W=\dfrac{1}{2} mv^2$ と表わされるので、$t$ 秒後の電子の運動エネルギー $W$［$\mathrm{J}$］は、

 

$W=\dfrac{1}{2} mv^2=\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{eE}{m} t\right)^2$ $=\dfrac{me^2E^2}{2m^2} t^2$ $=\dfrac{e^2E^2}{2m} t^2$

 

 

になります。

 

 

以上のように、$t$ 秒後の電子の速度、移動距離、運動エネルギーは、電子の加速度さえ求めてしまえば、あとは公式にあてはめるだけで簡単に求めることができます。

 

 

電界に電子が突入したときの電子の運動

次は、電界に電子が斜めに突入したときの電子の運動について考えてみましょう。

 

次の図のように、電界の強さが $E$［$\mathrm{V/m}$］の一様な電界中に、速さ $v$［$\mathrm{m/s}$］の電子が電界の向きに対して $\theta$（ $0\lt\theta\lt 90^\circ$ ）の角度で突入したとします。

 

 

このとき電子は、電界の向きと直角の方向（図中の $x$ 方向）には力を受けませんが、電界の向きと反対向き（図中の $y$ 方向）には $F=eE$［$\mathrm{N}$］の大きさの力を受けます。

 

 

なので、$x$ 方向に対しては速度 $v\sin\theta$［$\mathrm{m/s}$］の等速度運動をし、$y$ 方向に対しては加速度 $a=\dfrac{eE}{m}$［$\mathrm{m/s^2}$］の等加速度運動をするので、電子は $x$ 方向の運動と $y$ 方向の運動を合成した次のような放物線を描く運動（放物運動）をします。（加速度 $a$ は $y$ 方向の運動方程式 $ma=eE$ より求めたものです。）

 

 

ちなみに、電界に電子が直角に突入した場合は、$x$ 方向に対しては速度 $v$［$\mathrm{m/s}$］の等速度運動をし、$y$ 方向に対しては加速度 $a=\dfrac{eE}{m}$［$\mathrm{m/s^2}$］の等加速度運動をするので、電子は次のような放物運動をします。

 

 

 

以上のように、電界中にある電子は電界から力（静電力）を受けるので、電界中の電子は「等加速度運動」や「放物運動」をします。

 

 

 

磁界中の荷電粒子の運動については、こちらのローレンツ力のページを参考にしてみてください。
電界中の電子の位置エネルギーや運動エネルギーなどについては、こちらの電界中の電子のエネルギーと電子が陽極に達したときの速度のページを参考にしてみてください。

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