Paraboloide

In geometria un paraboloide è una quadrica, un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = \frac{z}{c}

(paraboloide ellittico)

o della forma

{(\frac{x}{a})}^{2} - {(\frac{y}{b})}^{2} = \frac{z}{c}

(paraboloide iperbolico).

Dove $a$ e $b$ rappresentano il grado di curvatura nel piano $x z$ e $y z,$ mentre $c$ rappresenta la direzione di apertura del paraboloide: verso l'alto per $c > 0$ (per il paraboloide ellittico) e verso il basso lungo l'asse $x$ per $c < 0$ (per il paraboloide iperbolico).

Perché "ellittico" e "iperbolico"?

Il motivo di queste denominazioni è subito chiaro osservando le sezioni orizzontali delle due superfici:

Paraboloide ellittico:

Paraboloide iperbolico:

È evidente che nel primo caso la sezione è un'ellisse e nel secondo è un'iperbole. Algebricamente, intersecare una superficie con un piano orizzontale equivale a risolvere il sistema tra l'equazione che descrive la superficie e l'equazione $z = z_{0},$ dove $z_{0}$ è una costante. Se poniamo ad esempio

z = - \frac{1}{2}

otteniamo:

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

che non è altro che l'equazione dell'ellisse. Variando il valore di $z$ , ossia variando la posizione del piano orizzontale, si ottengono ellissi di dimensioni diverse.

Nel secondo caso (paraboloide iperbolico), la sezione retta è un'iperbole; infatti, ponendo anche in questo caso

z = - \frac{1}{2}

abbiamo

{(\frac{x}{a})}^{2} - {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

che è proprio l'equazione di un'iperbole.

Può essere curioso notare che la superficie viene detta " rigata", perché su di essa è possibile individuare due schiere di rette che lo inviluppano e lo ricoprono. Tale proprietà viene spesso applicata per realizzarne delle approssimazioni più o meno accurate a seconda degli elementi rettilinei (cavi tesi o sottili aste) messi in opera, utilizzate in vari campi quali architettura, design, copertura, etc.

Perché "paraboloide"

Il nome della superficie deriva dal fatto che le sue sezioni verticali sono appunto delle parabole.

Quando $a = b,$ un paraboloide ellittico viene detto paraboloide di rivoluzione, cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata paraboloide circolare.

Hanno la forma del paraboloide di rotazione i riflettori parabolici usati come specchi, come antenne piatte e per analoghi dispositivi, come le antenne paraboliche. La ragione di ciò è dovuta al fatto che una sorgente di luce collocata nel punto focale di un paraboloide di rotazione produce un fascio di luce parallelo all'asse della superficie, e viceversa un fascio di luce parallelo che incide su un paraboloide di rotazione nella direzione del suo asse si concentra nel suo punto focale: questi effetti si hanno naturalmente anche per onde elettromagnetiche con frequenze in intervalli diversi dal visibile.

Poiché le sorgenti luminose o elettromagnetiche sono così distanti da potere immaginare che i fasci d'onda siano paralleli, se ne deduce che la forma a paraboloide di rotazione permette di "catturare" una maggior quantità di informazione e farla convergere in un unico punto.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

(EN) paraboloid, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
La più grande cupola a paraboloide ellittico in laterocemento mai realizzata nel mondo. Ing. Gianpiero Castellucci. 1978-1980 (archiviato dall'url originale il 9 ottobre 2020).

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