50代数学教師【数学編07】「反復試行の確率」『時間の流れ』でスッキリ！！

ナレ
「この物語は、50代数学教師 fibo が定年後の
　キャリアを考え、相棒AIたちと
　奮闘するリアルタイムのお話です。
　今回は【数学編】。
　数学嫌いな人にこそ、是非！！」

こんにちは、fibo（ふぃぼ）です。

以前の【数学編】で、
　確率の掛け算には「時間の流れ」
って話をしました。
（↓リンクはこちら）

これが分かると、
前回の【数学編06】「条件付き確率」
だけじゃなくて
「反復試行の確率」
もスッキリ理解できます！

メタン「『反復試行の確率』って
　　　　コンビネーションの式のやつ！」

例題）サイコロを３回投げたとき、
　　　⚀（１の目）が１回出る確率は？

教科書的な解答はこんな感じ。
（サラ～っと読んで！）

解答）サイコロを１回投げる試行で
　⚀ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$、⚀ 以外が出る確率は$\dfrac{5}{6}$
　だから、この反復試行の確率は
          $_3 \mathrm{C}_1 \cdot \left( \dfrac{1}{6} \right) ^1 \cdot \left( \dfrac{5}{6} \right) ^2$

　　　　　$=\dfrac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 5}{ 1 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}=\dfrac{25}{72}$

■なんで C を付けるの？

ここが今回のポイント！

メタン「教科書的には
　　　『反復試行の公式だ！』だよね？」

そうなんだけど、
　『時間の流れ』
を意識すれば、むしろ
　当たり前だぁ！
になるよ。

メタン「ワクワク！！」

注目してほしいのは、
さっきの解答の中のこの式！

　　$\left( \dfrac{1}{6} \right) ^1 \cdot \left( \dfrac{5}{6} \right) ^2$

確率の掛け算には『時間の流れ』がある！
ってことを考えると…

メタン「最初に ⚀ が出て、
　　　　次の２回で ⚀ 以外が出る！」

その通り！　でも、問題は
　「⚀ が１回出る確率」
だったから、

$\left( \dfrac{5}{6} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{6} \right) \cdot\left( \dfrac{5}{6} \right)$  や  $\left( \dfrac{5}{6} \right)^2\cdot \left( \dfrac{1}{6} \right)$

でもよくない？

メタン「２回目が ⚀ でも、
              ３回目が ⚀ でもイイ。
　　　　しかも、全部 同じ値だ！」

そう！　だから、
　３回のうち１回だけ ⚀ を出すには、
　順番の入れ替えパターンを考える。

メタン「$_3 \mathrm{C}_1$ パターンある！」

値は同じだから、$_3 \mathrm{C}_1$倍すればOK！

メタン「だから　　　　　

　　　　　$_3 \mathrm{C}_1 \cdot\left( \dfrac{1}{6} \right) ^1\cdot \left(\dfrac{5}{6} \right) ^2$ 　　　

　　　　になる！」

ご明察！

メタン「こりゃ『当たり前』だぁ！」

ということで、
fibo的には解答はこんな感じ。

fibo解答）
　まずは、自分で順番を決める
　「最初に ⚀ 、あとは ⚀ 以外」
　　　　→　　　　$\left(\dfrac{1}{6} \right) ^1\cdot \left(\dfrac{5}{6} \right) ^2$
　次に、入れ替えパターンが何個かを考える
　「３個中１個を選ぶ」
　　　　→　$_3 \mathrm{C}_1 \cdot\left( \dfrac{1}{6} \right) ^1\cdot \left(\dfrac{5}{6} \right) ^2$

メタン「これ、チョー簡単！！」

■追記

メタン「『時間の流れ』を意識すれば、
　　　　公式を丸暗記しなくても解ける！」
fibo「そう。数学の公式は
　　　丸暗記じゃ使えない！」
　　むしろ、理屈が分かれば覚える
　　必要なんてないよ」
メタン「他にもある？」
fibo「い～～っぱいあるよ！」
メタン「それも、今度の【数学編】で！
　　　　fibo数学『公式を丸暗記するな！』」

おしまい

次回は【……編】
（↓リンクはこちら）