書記が物理やるだけ#198 中心力場のシュレーディンガー方程式-1

水素原子モデルを目標に，2回かけて中心力場のシュレーディンガー方程式について解いていく。

問題

まずはφ方向とθ方向についてから示す。

説明

3次元問題を解くには変数分離が有効である。

量子力学では特殊関数が頻出，今回はルジャンドル微分方程式を用いる。

参考：

φ方向の解はルジャンドル陪多項式で表され，それを元にした球面調和関数によって固有関数が決まる。

解答

ラプラシアンを代入して，各方向へと変数分離する。

φ方向については普通の波動方程式である。

ここでルジャンドル微分方程式について解の形を示す。級数解を仮定して代入すると，係数の漸化式が得られる。ここで，解が発散しないには項を途中で打ち切ればよい。このことから，lは整数でなければならない。

θ方向の微分方程式はルジャンドル微分方程式であることから，上で示した解が得られる。

R方向については次回扱う。

本記事のもくじはこちら：