書記が数学やるだけ#935 ド・ラームコホモロジーの基本性質

ド・ラームコホモロジーの基本性質について簡単に見ていく。

問題

説明

ド・ラームコホモロジーは，可微分多様体上の微分形式によって定まる代数的な不変量であり，閉形式と完全形式の乖離を測る指標として定義される。具体的には，外微分を境界作用素と見なした微分形式の列（ド・ラーム複体）を構成し，そのコホモロジーとして得られる。

参考：

ド・ラームコホモロジーを計算する上で有用な事実として，ポアンカレの補題，マイヤー・ヴィートリス完全系列の存在，ホモトピー不変性などが挙げられる。

参考：

ド・ラームコホモロジーの例を以下に示す。

解答

0 次ド・ラームコホモロジーは，多様体の連結性により決まっている。

微分形式の性質より，次元を超える次数のド・ラームコホモロジーは必ず 0 になる。

円周は連結であることから，0次ドラームコホモロジーはRと同型である。

1次ドラームコホモロジーについて，円周の1次形式には閉形式であるが完全形式ではないものがあることが重要である。

ここでコホモロジーの次数1のときの基底表示を整理しておく。

一般の場合にドラームコホモロジーを計算するのは難しいが，マイヤー・ヴィートリス完全系列を用いることで簡単に示せる例がある。

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