書記が数学やるだけ#917 デデキント整域の例

デデキント整域の定義を確認する。

問題

説明

デデキント環あるいはデデキント整域とは，任意の0でない真のイデアルが有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており，イデアル論の基礎定理と呼ばれる。

ネーター環について：

整閉について：

極大イデアルについて：

解答

PIDは非常に強い条件を持つため，デデキント整域の3条件をすべて満たす。
・ネーター性: すべてのイデアルが1つの元で生成される（単項イデアル）ため，「有限生成」であり，したがってネーター環である。
・整閉性: 「PID ⇒ UFD（一意分解整域）」であり、「UFDは常に整閉である」という性質がある。
・素イデアルの極大性: PIDにおいて、0でない素イデアル (p) を含むイデアル I=(m) があるとき，p=mkと書ける。ここでp は既約元なので，m または k が単元となり，これは (p) が極大であることを意味する。

代数体 K の整数環 OK  の場合
・ネーター性: OK  は加法群として自由 Z 加群（ランク n=[K:Q]）であるため，その部分群であるイデアルも有限生成となる。
・整閉性: 整数環の定義そのものが「K の元の中で Z 上整なものすべて」であるため，定義より自己完結しており整閉である。
・素イデアルの極大性: 0でない素イデアル p による剰余環 OK /p は有限環となる整域（有限整域）であり，有限整域は体であるという性質から，p は極大イデアルである。

・無限変数の多項式環K[x1 ,x2 ,…]：(i) ネーター性に違反する。イデアルの昇鎖 I1 =(x1 )⊊I2 =(x1 ,x2 )⊊I3 =(x1 ,x2 ,x3 )… が無限に続くため，ネーター環ではない。

・複素数係数の2変数多項式環C[x,y]：(iii) 素イデアルの極大性に違反する。(0)⊊(x)⊊(x,y) という素イデアルの鎖が作れ，ここで (x) は素イデアルだが、極大イデアル (x,y)に含まれてしまっているため、極大ではない（次元が2であるため）。

・2次体の整数環ではない環(Z[√−3]：(ii) 整閉性に違反する。この環の商体は Q(√−3) であり，この体の正しい整数環は Z[ω]である。ω は x^2+x+1=0 という整方程式の根だが、ω∈/Z[√−3] であるため，整閉ではない。

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