書記が物理やるだけ#193 量子力学における波束
シュレーディンガー方程式の解を時間発展を示すために，量子力学における波束を考える。
問題
まずエーレンフェストの定理を示しておき，実際の具体例を通して波束を計算する。
説明
エーレンフェストの定理からは，シュレーディンガー方程式の期待値についてニュートンの運動方程式で近似できることが言える。
シュレーディンガー方程式の解を時間発展を示すには，分散のある波束を考える。
波束については以下も参照：
解答
運動量の期待値を積分することで，エーレンフェストの定理を得る。
ここでテイラー展開による近似を行うことで，ニュートン運動方程式として表すことができる。これは波束が狭い領域に局在した場合で，ほとんど古典力学の軌道として表せることになる。
ここからはガウス波束について考えていく。まずフーリエ変換によりx領域からk領域へと変換する。なお，xとkは逆比例の関係にあることが言える。
次に不確定性関係を示していく。分散が大きいほど位置の不確定さは大きくなり，運動量の不確定さは小さくなる，両者のトレードオフが不確定性関係として反映される。
最後に波束の時間発展を示す。
確率密度を計算すると，これもまたガウス波束であることがわかる。
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