書記が数学やるだけ#612 楕円曲線の有理点

暗号理論で頻用される楕円曲線について簡単に見ていく。

問題

楕円曲線の性状により，有理数解の有無が変わってくる。

説明

楕円曲線の大体の形状を示しておく。

判別式によっても性状がわかる。

楕円曲線に対して加法を定義することができる。

モーデルの定理は，ある楕円曲線について有理点が無限に存在することを示し，その操作はペル方程式を思い出させる。

参考：

解答

2点を結ぶ直線を引いて第3の交点を求め，鏡像をとることで加法が定義される。

これを繰り返せば，有理点が無数に得られる。

今度は有理点が有限個の例を示す。

条件を絞っていくと，最終的にフェルマーの最終定理（n=4）が出てくる。

参考：

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