過渡現象｜RC直列回路の時定数（τ＝CR）の導出

スポンサーリンク

次のように、抵抗 $R$、コンデンサ $C$、直流電源、スイッチからなるRC直列回路があるとします。

 

 

このRC直列回路の時定数 $\tau$ は、よく知られているように $\tau =CR$ です。

 

 

この $\tau =CR$ は、参考書などにも公式としてよく書かれているので、RC直列回路の時定数を求めるときは、

 

$\tau =CR$ にコンデンサの静電容量の値 $C$ と抵抗 $R$ の値を代入して…、時定数でた！

 

みたいな感じで使っていると思います。（たぶん）

 

このようによく使う $\tau =CR$ ですが、RC直列回路の時定数は、なぜ $CR$ になるのでしょうか？

 

RC直列回路の電流の過渡現象を表わす式を使って、RC直列回路の時定数 $\tau =CR$ を導いてみました。

 

 

RC直列回路の時定数の導出

 

 

上の図のようなRC直列回路において、$t=0$ でスイッチをONすると次のように電流が流れます。（コンデンサ $C$ に蓄えられている初期電荷はないもの（ゼロ）とします。）

 

 

このとき、この曲線の $t=0$ における接線を引くと、接線は、$t=0$ から「ある時間」のところで定常状態の電流値（ $i(t)=0$ の直線）と交わります。

 

 

この「ある時間」が時定数になるので、$t=0$ から2つの直線の交点までの時間を求めれば、それが時定数になります。

 

 

では、$t=0$ から2つの直線の交点までの時間を求めてみます。

 

初めに、$t=0$ における接線の式を求めます。

 

RC直列回路において、$t=0$ でスイッチをONしてから電流が定常状態になるまでの式（RC直列回路の電流の過渡現象を表わす式）は、次の図中の①式で表わされます。

 

 

この①式を $t$ で微分して $t=0$ を代入すると、$t=0$ における接線の傾きが求められます。①式を $t$ で微分すると、

 

$\dfrac{d\, i(t)}{dt} =\dfrac{E}{R}\cdot\left( -\dfrac{1}{CR}\right)\cdot e^{-\frac{1}{CR} t}$

 

$\therefore\dfrac{d\, i(t)}{dt} =-\dfrac{E}{CR^2}\cdot e^{-\frac{1}{CR} t}$

 

となり、これに $t=0$ を代入すると、

 

$\dfrac{d\, i(0)}{dt} =-\dfrac{E}{CR^2}\cdot e^{-\frac{1}{CR}\times 0}$

 

$\therefore\dfrac{d\, i(0)}{dt} =-\dfrac{E}{CR^2}$　…②　（$t=0$ における接線の傾き）

 

となります。この②が $t=0$ における接線の傾きになり、接線は点 $\left( 0\, ,\, \dfrac{E}{R}\right)$ を通るので、$t=0$ における接線の式は次のようになります。

 

$\therefore i(t)=-\dfrac{E}{CR^2} t+\dfrac{E}{R}$　…③　（$t=0$ における接線の式）

 

 

$t=0$ における接線の式が求められたので、次は、③式の直線と $i(t)=0$ の直線（定常状態の電流値を表わす直線）が交わる時間を求めます。

 

$-\dfrac{E}{CR^2} t+\dfrac{E}{R} =0$

 

として、これを $t$ について解きます。すると、

 

$\dfrac{E}{CR^2} t=\dfrac{E}{R}$

 

$\dfrac{1}{CR} t=1$

 

$\therefore t=CR$

 

となり、2つの直線が交わる時間（ $t=0$ から2つの直線の交点までの時間）は $t=CR$ と求められました。

 

この時間が時定数になるので、RC直列回路の時定数 $\tau$ は、

 

 

になります。

 

 

 

 

時定数については、こちらの時定数のページを参考にしてみてください。
RL直列回路の時定数（ $\tau =L/R$ ）の導出については、こちらのRL直列回路の時定数の導出のページを参考にしてみてください。

RL直列回路の時定数（τ＝L/R）の導出　←BACK

NEXT→　RL直列回路の過渡現象の解き方

スポンサーリンク

RC直列回路の時定数（τ＝CR）の導出　関連ページ

過渡現象とは

過渡現象について解説しています。過渡現象とは、ある定常状態から別の定常状態に移るまでに起こる現象（電圧や電流などの時間的な変化）のことをいい、過渡現象は回路の状態が変化することによって起こります。

時定数

過渡現象の時定数について解説しています。時定数は、過渡状態での変化の速さを表わす量で、時定数が小さければ変化する速さは速くなり、時定数が大きければ変化する速さは遅くなります。

時定数の単位はなぜ時間s（秒）になるのか？

過渡現象の時定数の単位はなぜ時間s（秒）になるのか？について解説しています。時定数の単位が時間（s）になる過程も詳しく書いていますので、参考にしてみてください。

RL直列回路の時定数（τ＝L/R）の導出

RL直列回路の時定数（τ＝L/R）の導出方法について解説しています。RL直列回路の時定数は、電流のt=0における接線と定常状態の電流を表わす直線との交点の時間を算出すると求められます。

RL直列回路の過渡現象の解き方

RL直列回路の過渡現象の解き方について解説しています。過渡現象を解くためには微分方程式を解く必要があるため計算がちょっと大変ですが、解き方のパターンをおぼえてしまうとそれほど難しくはありませんよ。

RC直列回路の過渡現象の解き方

RC直列回路の過渡現象の解き方について解説しています。RC直列回路の過渡現象はRL直列回路よりもちょっとだけ計算が大変ですが、解き方のパターンは同じなので、おぼえてしまうとそれほど難しくはありませんよ。

ラプラス変換によるRL直列回路の過渡現象の解き方

ラプラス変換によるRL直列回路の過渡現象の解き方について解説しています。ラプラス変換を使ってRL直列回路の過渡現象を解いていますので、ラプラス変換を使った過渡現象の解き方の参考にしてみてください。

ラプラス変換によるRC直列回路の過渡現象の解き方

ラプラス変換によるRC直列回路の過渡現象の解き方について解説しています。ラプラス変換を使ってRC直列回路の過渡現象を解いていますので、ラプラス変換を使った過渡現象の解き方の参考にしてみてください。