過渡現象｜RL直列回路の時定数（τ＝L/R）の導出

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次のように、抵抗 $R$、コイル $L$、直流電源、スイッチからなるRL直列回路があるとします。

 

 

このRL直列回路の時定数 $\tau$ は、よく知られているように $\tau =\dfrac{L}{R}$ です。

 

 

この $\tau =\dfrac{L}{R}$ は、参考書などにも公式としてよく書かれているので、RL直列回路の時定数を求めるときは、

 

$\tau =\dfrac{L}{R}$ に コイルのインダクタンスの値 $L$ と 抵抗 $R$ の値を代入して…、時定数でた！

 

みたいな感じで使っていると思います。（たぶん）

 

このようによく使う $\tau =\dfrac{L}{R}$ ですが、RL直列回路の時定数は、なぜ $\dfrac{L}{R}$ になるのでしょうか？

 

RL直列回路の電流の過渡現象を表わす式を使って、RL直列回路の時定数 $\tau =\dfrac{L}{R}$ を導いてみました。

 

 

RL直列回路の時定数の導出

 

 

上の図のようなRL直列回路において、$t=0$ でスイッチをONすると次のように電流が流れます。

 

 

このとき、この曲線の $t=0$ における接線を引くと、接線は、$t=0$ から「ある時間」のところで定常状態の電流値（ $i(t)=E/R$ の直線）と交わります。

 

 

この「ある時間」が時定数になるので、$t=0$ から2つの直線の交点までの時間を求めれば、それが時定数になります。

 

 

では、$t=0$ から2つの直線の交点までの時間を求めてみます。

 

初めに、$t=0$ における接線の式を求めます。

 

RL直列回路において、$t=0$ でスイッチをONしてから電流が定常状態になるまでの式（RL直列回路の電流の過渡現象を表わす式）は、次の図中の①式で表わされます。

 

 

この①式を $t$ で微分して $t=0$ を代入すると、$t=0$ における接線の傾きが求められます。①式を $t$ で微分すると、

 

$\dfrac{d\, i(t)}{dt} =0-\dfrac{E}{R}\cdot\left( -\dfrac{R}{L}\right)\cdot e^{-\frac{R}{L} t}$

 

$=\dfrac{E}{R}\cdot\dfrac{R}{L}\cdot e^{-\frac{R}{L} t}$

 

$\therefore\dfrac{d\, i(t)}{dt} =\dfrac{E}{L}\cdot e^{-\frac{R}{L} t}$

 

となり、これに $t=0$ を代入すると、

 

$\dfrac{d\, i(0)}{dt} =\dfrac{E}{L}\cdot e^{-\frac{R}{L}\times 0}$

 

$\therefore\dfrac{d\, i(0)}{dt} =\dfrac{E}{L}$　…②　（$t=0$ における接線の傾き）

 

となります。この②が $t=0$ における接線の傾きになるので、$t=0$ における接線の式は次のようになります。

 

$\therefore i(t)=\dfrac{E}{L} t$　…③　（$t=0$ における接線の式）

 

$t=0$ における接線の式が求められたので、次は、③式の直線と $i(t)=\dfrac{E}{R}$ の直線（定常状態の電流値を表わす直線）が交わる時間を求めます。

 

$\dfrac{E}{L} t=\dfrac{E}{R}$

 

として、これを $t$ について解きます。すると、

 

$t=\dfrac{E}{R}\times\dfrac{L}{E}$

 

$\therefore t=\dfrac{L}{R}$

 

となり、2つの直線が交わる時間（ $t=0$ から2つの直線の交点までの時間）は $t=\dfrac{L}{R}$ と求められました。

 

この時間が時定数になるので、RL直列回路の時定数 $\tau$ は、

 

 

になります。

 

 

 

 

時定数については、こちらの時定数のページを参考にしてみてください。
RC直列回路の時定数（ $\tau =CR$ ）の導出については、こちらのRC直列回路の時定数の導出のページを参考にしてみてください。

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