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水力発電所の出力と有効落差の関係

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次のような水力発電所を考え、この水力発電所の出力（発電機の出力）と有効落差にはどのような関係が成り立つのか考えてみます。

 

水力発電所の概略構成

 

水力発電所の出力 $P_G$ は、水の流量を $Q$［$ \mathrm{m^3 / s} $］、有効落差を $H$［$ \mathrm{m} $］、水車効率を $\eta_T$、発電機効率を $\eta_G$ とすると次式で与えられます。

 

$P_G = 9.8 Q H \eta_T \eta_G$　［$ \mathrm{kW} $］　…①

 

水車の効率 $\eta_T$ と発電機の効率 $\eta_G$ を一定とすれば $\eta_T$ と $\eta_G$ は定数となるので、①式より水力発電所の出力 $P_G$ は、次式で表わされるように水の流量 $Q$ および有効落差 $H$ に比例します。

 

$P_G \propto Q H$　…②

 

水の流量 $Q$ は、水圧管の断面積を $A$［$ \mathrm{m^2} $］、水の流速を $v$［$ \mathrm{m / s} $］とすると、$Q = A v$［$ \mathrm{m^3 / s} $］となるので、これを②式に代入すると次の関係式が得られます。

 

$P_G \propto QH = AvH$

 

$\therefore P_G \propto AvH$　…③

 

水の流速と流量の関係式

 

さらに、水の流速 $v$ と有効落差 $H$ との関係は、次式で与えられます。

 

$v = C_v \sqrt{2gH}$　…④

 

ここで、$C_v$ は速度係数、$g$ は重力加速度です。

 

したがって④式より、速度係数 $C_v$ と重力加速度 $g$ は定数であるので、次の関係式が得られます。

 

$v \propto \sqrt{H}$　…⑤

 

以上③式と⑤式より、

 

$P_G \propto AvH \propto A \sqrt{H} \, H \propto A H^{\frac{3}{2}}$ $\propto H^{\frac{3}{2}}$

 

$\therefore P_G \propto H^{\frac{3}{2}}$

 

となり、水力発電所の出力 $P_G$［$ \mathrm{kW} $］は有効落差 $H$［$ \mathrm{m} $］の$\dfrac{3}{2}$乗に比例します。

 

ここで与えられている水力発電所の出力 $P_G$ の単位は、$\mathrm{kW}$ であることに注意しましょう。

 

補足

水の流速と有効落差の関係式について

④式の水の流速 $v$ と有効落差 $H$ の関係式は、次のようにして導出されます。
ある基準レベル（高さ $0 \, \mathrm{m}$ ）から高さ $H$［$ \mathrm{m} $］にある水が、基準レベルの位置で流速が $v$［$ \mathrm{m / s} $］であったとします。
このとき、水の質量を $m$［$ \mathrm{kg} $］とすると、エネルギーの保存則から次式が成り立ちます。

 

エネルギー保存則の式

 

上式を流速 $v$ で整理すると、
$2gH = v^2$　　$\therefore v = \sqrt{2gH}$　…⑥
水の粘性、摩擦を考えない場合は⑥式でもよいのですが、実際の水には粘性、摩擦があります。このため水の流速 $v$ は、⑥式よりも若干小さい速さになります。
この若干小さくなる流速 $v$ を表現するために速度係数 $C_v$ が用いられ、水の流速 $v$ は次式で与えられます。
$\therefore v = C_v \sqrt{2gH}$　［$ \mathrm{m / s} $］

 

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