問題：１次元空間に量子的で非相対論的な自由粒子がある。その波動関数ψ(x)や密度演算子ρを、実験で印加できる調和振動子ポテンシャルと、粒子の位置を測る測定機を用いて定める方法を述べよ。

2026年7月4日 08:42

粒子の波動関数ψ(x)や密度演算子ρを、物理量の確率分布の実験データから一意に決定する方法が、様々な分野の多くの物理研究者には、まだ浸透していない悲しむべき現状があります。中には、「物理に影響しない全体の位相因子を除いて、波動関数は実験だけからきちんと決まる」と言うだけで、驚く先生も居ます。そのような方々に、彼らの波動関数の定義を改めて聞くと、単に「シュレディンガー方程式を満たす複素関数で、物理量の確率分布が、その関数のボルン則から計算できるもの」という内容の答えが、圧倒的に多いのです。しかしこれは、前世紀の古い量子力学の教科書の内容に過ぎません。もしくは「ほとんど至る所（almost everywhere）で一致する関数の同値類を導入した、ヒルベルト空間の元が波動関数である」と答える、数学寄りの物理の先生も結構居ます。

しかし、それでは波動関数が与える実験への予言を計算できても、波動関数そのものの物理的な理解に繋がりません。波動関数は、実験で計測される特定の物理量の確率分布の集合から一意に定義されるものです。つまり「波動関数＝確率分布」という構図が、現在ではハッキリしているのですが、その知識のアップデートをされてない先生方も未だ多いのです。このような現状については、下記記事もご覧ください。

この状況を改善することを目的として、広江克彦さんと一緒に『量子力学の〈新常識〉』という書籍を出しました。

これは、通称「堀田量子」と呼んで頂いている『入門現代の量子力学』の副読本という位置づけにもなっています。

この『量子力学の〈新常識〉』には、実験に基づいた、波動関数の定義方法だけでなく、前世紀の物理学の教科書に書かれていた、様々な間違いや誤解を解消するための内容が、豊富に出ています。量子力学を学ぶ物理学徒の方だけでなく、以前に量子力学を大学で学ばれた多くの方々にも、是非ご一読して頂きたい一冊です。

さて、以下では1次元空間中の粒子の波動関数や密度演算子を定義する「量子状態トモグラフィ法」を紹介します。これは『量子力学の〈新常識〉』の付録Ｂや、それ以前に出されている『量子情報と時空の物理』の付録Aに書かれている内容です。

時刻がt<0ではポテンシャルを持たない自由運動をしている質量mの粒子の、t=0における密度演算子ρを決定する方法として、0<t<Tの間に調和振動子ポテンシャルを印加する装置と、t=Tに粒子の位置の確率分布を計測できる装置を使う量子状態トモグラフィ法を考えます。t=0の瞬間に調和振動子ポテンシャルを印加すると、粒子の波動関数は、その素早い印加の過程で全く変化せずにそのままです。そしてそれ以降は、角振動数がωの調和振動子運動を粒子は行います。そのハミルトニアンは