ロシアの学校の教科書（数学）について考える
チェブラーシカさんがロシアの学校の教科書を調べ記事を掲載しています。
そこには、数学の教科書についてのリストがあります。
チェブラーシカさんも言っているように、ロシアでは教科書･学習書を無料ですべてオンラインで見ることができます。ロシアの広い大地のどこに住んでいても、お金がなくても、先生がいなくても、やる気があれば誰でも学習できる環境が整っています（もちろん日本からも見えます）。
今回のnote記事では、数学の教科書について考察します。さて、チェブラーシカさんが作った教科書リストは膨大で、ほんの数冊しかまだ見ておりませんが、色々な種類があり過ぎ、どのような切り口で考察すべきか迷います。
結局、自分の今持っているロシアの数学教科書のイメージを切り口にすることにしました。考えてみればこうするより仕方ありません。理解できる物事は、現在自分の持っている知識で決まるのですから、それを超えるものは理解できません。もし、切り口を変えれば別の側面が見え、それこそが重要な姿である、ということもあるでしょうが、今は気がつきません。
現在私は、以下に示す４つの認識を持っています。この認識から眺めると、ロシアの数学の教科書の多様性は納得できるのではないでしょうか。
■ 私の認識１
ロシアの数学教育の特徴は，多民族性と地域の多様性に対応すべく，かつ，数学の応用分野の多様性にも対応できるように留意している．数学教程のレベルも多様性（ミニマム内容の設定，上級数学への接続）を持たせている．一般学生の数学への共感を喚起するには，完成した数学体系そのまま教えるのではなく，数学の周囲（背景）から数学を俯瞰することから始めるのが効果的である．すなわち，その数学概念の源泉を踏まえ，その数学概念の応用分野も示して見せることだ．この視点は我々の数学月間の趣旨と一致する．
数学ドリルをこなす教育ではなく，生活や科学の背景の中で，数学的要素を見出すことが重要である．遊びの要素のない与えられた数学ドリルを解くのでは，論理的思考を養い問題解決の手法を得るのに役立たないと考えている．このような数学教育の方針は，ステクロフ数学研究所発行の「数学構成要素」にも表れている．これは，社会と数学の係わりから数学を見ようとする我々の「数学月間」の思想とも一致する．
ロシアの数学教育では，数学オリンピックが重視されているように見えるが，これも，与えられた数学問題を解くのではなく，生活や科学の背景の中から，数学課題を見つけ出しそれを解決するという流れの上にあるからである．
工学をはじめ社会の色々な分野に数学があり，もちろん，自然現象にも芸術にも遊びにも数学がある．色々な遊びや工作をしながら，子供たちは，自ずとその中に数学的要素を発見し身に着けるものである．このようにして獲得した数学的素養は，ドリルとして数学問題を解いて身につくものと質が異なる．我々の数学月間活動で「数学まつり」を重視している理由は，このためである．
ロシアでは，後述するように，「全国数学フェスティバル」が全土191都市で実施されている．
■ 私の認識２（ウラジミール・ウスペンスキー）
現代社会では，どんな専門分野にも数学が係わっています．「数理物理学」を筆頭に，「数理生物学」,「数理言語学」，「数理経済学」，「数理心理学」等々．今や数学は流行の職業になっています．
これは，数学の応用の計り知れない可能性のためです．数学は，人文科学と見なされてきた分野にも浸透しています．
自然科学と人文科学の区分がいつまでも続くとは限りません．数学が自然科学に帰属することの反省が起こっています．数学は物理学の一部であると言われますが，物理の世界の特性記述に数学が成功したからで，人文科学の他の分野でも同じ成功を収めるに違いありません．
数学者と（人文科学）非数学者は異なる思考スタイルを持っており，異なるスタイルに触れることで両者が豊かになります．たとえば，「公理に明示的に記録された情報のみ推論に使用できる」という数学で広く普及している公理的方法の研究は，厳密な思考の習慣を植え付けます．そして，「無限集合の性質」を知ることは想像力を育みます．(人文科学)たとえば歴史家は公理的方法や無限集合を必要としないと思うかもしれません．しかし，思考と想像力の厳しさは彼の思考の妨げにはなりしません．
一方，数学の方にも学ぶべきことがたくさんあります．
人文科学者は数学者より他人の意見に寛容です．数学的な概念は明確に定義されていますが，人文科学的な概念は曖昧です． それゆえ，私たちの曖昧な世界を説明するのに適しています．
私たちは，情報を冷静に伝達する機能に関心があります．それは文言に具現化されます．国内プログラミングの創始者の一人であるアンドレイ・ペトロヴィッチ・エルショフは，これを「ビジネス散文Деловая проза」と呼びました． ビジネス散文には，特に，自然科学のテキスト (主に数学)，法律のテキスト，事務のテキストおよび指示（マニュアル）が含まれます．ビジネス散文は私たちの生活の中でますます重要な位置を占めるため，母国語のレッスンや，感情を伴わない純粋な情報に特化した特別クラスで教えられる可能性があります．
ビジネス散文を教えることは，ビジネステキストの正しい編集と正しい認識のスキル，つまり，言葉で考えを正しく表現し，言葉で表現された考えを正しく解釈する能力を養成します．
（私のコメント）
数学は物理学の一部であると私も実感しています．
しかし，人文科学にも，数学の浸透が進んでいるのは事実です．
むろん，数学の人文科学との係わりは以前からもありました．A.A.Баpсов（モスクワ大，数学）は，ロシア語文法，正書法の提案を行いました(1755）．
数学の論理は，自然科学も人文科学も係わります．数学を人文科学に帰属させても不思議ではありません．
ブラックボックスとしてAIが用いられる現代では，現象の数学モデルを作ったり，得られた解析結果を解釈するのに，正しい読解力が必要であると思います．解釈次第でとんでもない結果も恣意的に導くことが可能ですから．
■ 私の認識３ （コルモゴロフの改革）
数学の教科書は、幾何学にしろ2次方程式にしろギリシャ時代の数学です。せいぜい頑張ってもルネサンスあたりまでの数学で終わっています。21世紀の数学の教科書がそんなことで良いのでしょうか？しかし、モダーンな数学を入れたいと思っても，数学の基本の①数えること②図形を飛ばすことはできません。一方、応用も示す必要がある、統計学のニーズがある、との声があります。改革が必要です：
1960年代初頭，コルモゴロフは改革の作業に参加しました．彼のリーダーシップの下で，新しいカリキュラムが作成され，その後，彼自身が共著者の小さなチームと協力して，非常に短い時間で，代数と解析入門と，幾何学に関する新しい教科書を書きました．
しかし，特に幾何学の教科書は厳しい批判を受け，批判は改革全体に広がりました． 1978年，ソ連科学アカデミーの数学科は，数学の教科書と学校のカリキュラムの現状は不十分であると認識し，コルモゴロフの改革は公式に却下されました．
一方、コルモゴロフによって編集された代数と解析入門教科書は，学校に残り，ソビエト連邦時代を無事に生き延びました．昨年，卒業前と卒業のクラスのための教科書の第26版が出版されました．幾何学の教科書の方は，取り返しのつかないほどの後退をしました．
コルモゴロフの教科書改革は失敗でした．改革が不徹底の原因背景について種々論じられています．ここで取り上げたАлександр Буфетовブヘトフの論説の後半部分でも，４つの問題点が語られています．
例えば，数学に割り当てられた時間の15〜20％の大幅な削減．8年制から10年制への移行にともない，なぜ時間を短縮されたのかわかりません．週に６時間の数学を決めたのは誰でしょうか？幾何学試験の廃止を決定したのは誰でしょうか？
制約がいろいろあったようです．コルモゴロフが非常に急いでプロジェクトを進めたのは何故でしょうか？健康問題もあったようです．費用も少なかったようです．当時の時代背景や状況などわからない点が多いのです．ご存じの方はご意見を下さい．
現在の新しい教科書を用いた数学の授業時間数はどのくらいでしょうか．きっと時間が足りないでしょうね．
■ 私の認識４
数学の本質は、計算や数式のテクニックではありません。重要なのは色々な数学概念（例えば、無限、連続とか、集合、虚数、複素数、･･･）と物事の考え方です。
■ ロシアの教科書について 代数と幾何
チェブラーシカさんの情報から解釈すると、以下のようです。
1⃣１～6年生向き教科書：数学、数学とデザイン、数学が好きな人のために
2⃣７～11年生向き教科書：代数、幾何
ロシアの教科書で驚くのは、その厚さです。例えば、10年生の代数の教科書の厚さは500頁に近く、日本の教科書の倍あります。独習できる詳しく親切な記述があります。それでは、2⃣の教科書の10～11年生をみて見ましょう：
●10年生上級レベル 代数
集合論から始まります。有限集合も無限集合もありとても重要な概念です。良く書かれているようですので、私も後でゆっくり勉強したいと思います。
集合に次にブール代数が続き、関数、3角関数、極限、微分、級数、整数論など学び、課題問題もたくさん、全部で500頁に近い（479頁）もあります。
●11年生上級レベル 代数
1章は対数関数、2章は積分、3章は複素数（комплексные числа）、複素平面（комплексная плоскость）もここで学びます。3次、4次の多項式方程式も演習問題にあります。4章は確率論、基礎というけれども本格的で高度です。5章は復習、6章は応用。全部で415頁もあります。
●10年生上級レベル 幾何
平面幾何学はそれ以前の学年で終えているのでしょう。この本では、ほとんど立体幾何学を扱います。272頁あります。
●11年生上級レベル 幾何
この本では、ベクトル空間の話題が大半を占めます。この概念は重要ですからたっぷりやるのが良いでしょう。p.69以降には、回転体の体積の計算が出てきます。全256頁、このシリーズの数学でこれが一番薄い本です。
（備忘録メモ）
１）非ユークリッド幾何学は扱われていません。
ざっと目を通しただけなので私が見逃したのでしょうか？
２）数学の授業時間数は何時間/週でしょうか。
