電気のお勉強｜ミルマンの定理

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ミルマンの定理（帆足-ミルマンの定理）は全電圧の定理とも呼ばれ、抵抗と電源の直列接続が複数並列に接続されている回路において、回路の端子電圧を求めたいときに有用な定理です。

 

例えば、次のような「抵抗と電源（電圧源）の直列接続」が複数並列（ $n$ 個並列）に接続されている回路があるとすると、

 

 

この回路の端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$［$\mathrm{V}$］は、

 

 

と表わされます。

 

 

これがミルマンの定理で、ミルマンの定理を使うと、キルヒホッフの法則や重ね合わせの理のような回路によっては計算が多少複雑になる法則や定理を使うことなく、上図のような回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ を簡単に求めることができます。

 

 

このように、回路の計算をするときになにかと役に立つミルマンの定理ですが、ミルマンの定理の式をみてみると、ちょっと複雑な式にみえますよね。

 

でもこれ、分母と分子がそれぞれどんな式になっているのか？を考えてみると、簡単な式にみえてきます。（たぶん）

 

ミルマンの定理の式の分母をみてみると、

 

分母：$\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\cdots +\dfrac{1}{R_n}$

 

となっていて、これは、回路図の電圧源を短絡して取り除いたときの端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成コンダクタンスになっているんです。

 

 

 

また、ミルマンの定理の式の分子をみてみると、

 

分子：$\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\cdots +\dfrac{V_n}{R_n}$

 

となっていて、これは、回路図の端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡したときの各枝路に流れる電流（短絡電流）の和になっているんです。

 

 

なので、ミルマンの定理の式を言葉で簡単に書いてみると、

 

端子電圧 $=\dfrac{\text{短絡電流の和}}{\text{合成コンダクタンス}}$　…②

 

となり、ミルマンの定理の式（①式）はパッと見は複雑そうな式にみえますが、そんなに複雑ではなかったりするんです。

 

 

ちなみに、合成コンダクタンスの逆数は合成抵抗になるので、②式の合成コンダクタンスを合成抵抗で表わすと、

 

端子電圧 $=\dfrac{\text{短絡電流の和}}{\dfrac{1}{\text{合成抵抗}}}$

 

$\therefore$ 端子電圧 $=$ 短絡電流の和 $\times$ 合成抵抗　（②式を合成抵抗で表わした）

 

となるので、②式は電圧 $=$ 電流 $\times$ 抵抗というオームの法則の式の形になります。

 

では続いて、ミルマンの定理の式を導出してみましょう。

 

 

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ミルマンの定理の式の導出

ここでは、電源が3つ、抵抗が3つの場合のミルマンの定理の式、

 

$V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$

 

を導出してみます。

 

 

次の図のように、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の端子電圧を $V_\mathrm{ab}$［$\mathrm{V}$］、各枝路に流れる電流を $I_1$［$\mathrm{A}$］、$I_2$［$\mathrm{A}$］、$I_3$［$\mathrm{A}$］とします。

 

 

すると、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の端子電圧は $V_\mathrm{ab}$ なので、次の3つの式が成り立ちます。

 

$V_\mathrm{ab} =V_1-R_1I_1$　…③
$V_\mathrm{ab} =V_2-R_2I_2$　…④
$V_\mathrm{ab} =V_3-R_3I_3$　…⑤

 

これら3つの式から電流 $I_1$ 、$I_1$ 、$I_3$ を求めると、

 

③式より、$R_1I_1 =V_1-V_\mathrm{ab}$

 

$\therefore I_1=\dfrac{V_1-V_\mathrm{ab}}{R_1}$　…⑥　（電流 $I_1$ ）

 

④式より、$R_2I_2 =V_2-V_\mathrm{ab}$

 

$\therefore I_2=\dfrac{V_2-V_\mathrm{ab}}{R_2}$　…⑦　（電流 $I_2$ ）

 

⑤式より、$R_3I_3 =V_3-V_\mathrm{ab}$

 

$\therefore I_3=\dfrac{V_3-V_\mathrm{ab}}{R_3}$　…⑧　（電流 $I_3$ ）

 

となります。ここで、回路図の $\mathrm{c}$ 点にキルヒホッフの第一法則を適用すると、

 

$I_1+I_2+I_3=0$　…⑨　（キルヒホッフの第一法則より）

 

となるので、

 

 

⑨式に⑥、⑦、⑧を代入すると、

 

$\dfrac{V_1-V_\mathrm{ab}}{R_1} +\dfrac{V_2-V_\mathrm{ab}}{R_2} +\dfrac{V_3-V_\mathrm{ab}}{R_3} =0$　（⑨式に⑥、⑦、⑧を代入した）

 

$\dfrac{V_1}{R_1} -\dfrac{V_\mathrm{ab}}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} -\dfrac{V_\mathrm{ab}}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3} -\dfrac{V_\mathrm{ab}}{R_3} =0$

 

$\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3} =\dfrac{V_\mathrm{ab}}{R_1} +\dfrac{V_\mathrm{ab}}{R_2} +\dfrac{V_\mathrm{ab}}{R_3}$

 

$V_\mathrm{ab}\left(\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}\right) =\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3}$

 

 

となり、電源が3つ、抵抗が3つの場合のミルマンの定理の式を導出できました。（導出終わり）

 

ここでは、電源が3つ、抵抗が3つの場合のミルマンの定理の式を導出しましたが、枝路が4つ、5つ、…と増えても同じように導出できます。

 

続いて、ミルマンの定理の問題でよくある回路を例にして、回路の端子電圧を求めてみましょう。

 

いくつか計算してみると、ミルマンの定理の使い方が分かるようになりますよ！（といっても、基本的にミルマンの定理の式に代入するだけなんですけどね…。）

 

 

ミルマンの定理による端子電圧の計算

ここでは、

• 電源が3つ、抵抗が3つある回路
• 電源が2つ、抵抗が3つある回路
• 逆向きの電源がある回路

の3つの回路について、ミルマンの定理を用いて回路の端子電圧を求めてます。

 

電源が3つ、抵抗が3つある回路

ミルマンの定理を用いて、次の回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ を求めてみます。

 

 

この回路の枝路は3つなので、ミルマンの定理の式は、

 

$V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$　…⑩　（枝路が3つの場合のミルマンの定理の式）

 

となります。この⑩式に回路の電源の電圧 $V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ 、抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ を代入すると、

 

 

となり、これがこの回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ になります。（代入するまでもなく、そのまんまですね。）

 

 

次は、「電源が2つ、抵抗が3つある回路」の計算です。

 

電源が2つ、抵抗が3つある回路

ミルマンの定理を用いて、次の回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ を求めてみます。

 

 

この回路の枝路は3つなので、ミルマンの定理の式は、

 

$V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$　…⑪　（枝路が3つの場合のミルマンの定理の式）

 

となります。

 

ここで、回路図とミルマンの定理の式（⑪式）を見比べてみると、ミルマンの定理の式には電源（の電圧）が3つありますが、回路図には電源が2つしかありません。

 

 

このような場合は、回路図の電源がないところには電圧 $0$［$\mathrm{V}$］の電源があるものと考えて、ミルマンの定理の式に代入します。

 

 

なので、この場合は、ミルマンの定理の式の $V_3$ にはゼロが代入され、回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ は、

 

$V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{0}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$　（$V_3$ に $0$ を代入している）

 

 

となります。

 

 

このように回路に電源がないところがある場合は、電源がないところの電圧はゼロとしてミルマンの定理の式に代入します。

 

ちなみに、電源がないからといって、例えば次のように左側の2つの枝路だけにミルマンの定理を適用すると間違いになります。

 

 

ためしに、左側の2つの枝路だけにミルマンの定理を適用してみると、

 

$\therefore V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2}}$　…⑬　（端子電圧 $V_\mathrm{ab}$（ダメな例））

 

となり、この⑬は先ほど求めた⑫とは異なります。

 

回路に電源がないところがある場合には注意しましょう！

 

次は、「逆向きの電源がある回路」の計算です。

 

 

逆向きの電源がある回路

ミルマンの定理を用いて、次の回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ を求めてみます。

 

 

この回路の枝路は3つなので、ミルマンの定理の式は、

 

$V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$　（枝路が3つの場合のミルマンの定理の式）

 

となります。

 

ここで、回路図をみてみると、この回路の真中の電源は他の2つの電源とは逆向きになっています。

 

 

このような場合は、逆向きになっている電源の電圧をマイナスにしてミルマンの定理の式に代入します。

 

 

なので、この場合は、ミルマンの定理の式の $V_2$ には $-V_2$ が代入され、回路の端子電圧 $V_\mathrm{ab}$ は、

 

$V_\mathrm{ab} =\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{-V_2}{R_2} +\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$　（$V_2$ に $-V_2$ を代入している）

 

 

となります。

 

 

このように回路に逆向きの電源がある場合は、逆向きの電源の電圧をマイナスにしてミルマンの定理の式に代入します。

 

回路に逆向きの電源ある場合には注意しましょう！

 

 

ミルマンの定理の解説は以上になりますが、ミルマンの定理はおぼえておくとなにかと役に立つ定理ですので、ミルマンの定理の式は公式としておぼえておくといいと思います。

 

 

 

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