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ノートンの定理

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ノートンの定理（ノルトンの定理）は等価電流源の定理とも呼ばれ、電源を含む回路において、ある特定の素子にかかる電圧を求めたいときに有用な定理です。

例えば、次のような電源を含む回路があって、この回路の端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に接続されている抵抗 $R$［$\Omega$］にかかる電圧 $V$［$\mathrm{V}$］を求めたいとします。

電源を含む回路

このとき、抵抗 $R$ を取り外して端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にしたときの端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成コンダクタンスを $G_0$［$\mathrm{S}$］、

端子a-b間の合成コンダクタンスG0

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成コンダクタンス $G_0$ を求めるときは、電圧源は短絡、電流源は開放します。

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡したときの端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に流れる電流（短絡電流）を $I_0$［$\mathrm{A}$］とすると、

端子a-b間を短絡したときの短絡電流I0

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ より左側の回路は、電流が $I_0$ で内部コンダクタンスが $G_0$ の電流源に置き換える（等価変換する）ことができ、

端子a-bより左側の回路は電流源に等価変換できる

この置き換えた電流源を、ノートンの等価電流源とか、ノートンの等価回路といいます。

抵抗 $R$ にかかる電圧 $V$ は、抵抗 $R$ のコンダクタンスを $G$［$\mathrm{S}$］とすると、次の式で求めることができます。

$V=\dfrac{I_0}{G_0+G}$　…①　（ノートンの定理の式）

ノートンの等価電流源とノートンの定理の式

これがノートンの定理で、ノートンの定理を使うと、電圧を求めたいところの特定の素子を除いた部分の回路（この場合、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ より左側の回路）を内部コンダクタンスがある1つの電流源で等価的に置き換えることができるので、複雑な回路であっても回路を単純化して電圧の計算をできるようになります。

ノートンの定理

ノートンの定理による電圧の求め方を整理すると、次のような手順（STEP1～STEP5）になります。

電圧を求めたい抵抗 $R$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。（「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」じゃなくて「$1$」「$2$」でもなんでもいいですが…。）

抵抗Rの両端を端子a、bとする

抵抗 $R$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

端子a-b間を開放する

回路内のすべての電源を取り除き（電圧源は短絡し、電流源は開放する）、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成コンダクタンス $G_0$ を求める。

合成コンダクタンスG0を求める

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡し、短絡した端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に流れる電流（短絡電流）$I_0$ を求める。

短絡電流I0を求める

STEP3で求めた合成コンダクタンス $G_0$ 、STEP4で求めた短絡電流 $I_0$ 、抵抗 $R$ のコンダクタンス $G$ を $V=\dfrac{I_0}{G_0+G}$（ノートンの定理の式）に代入して電圧 $V$ を計算する。

G0とI0をノートンの定理の式に代入して電圧Vを計算する

以上のような手順で、抵抗 $R$ にかかる電圧 $V$ を求めることができます。

では続いて、ノートンの定理の問題でよくある簡単な回路を例にして、抵抗にかかる電圧を求めてみましょう。

このページではノートンの定理を直流回路（電源は直流電源、素子は抵抗のみ）で解説していますが、ノートンの定理は交流回路でも成り立つ定理です。

ノートンの定理による電圧の計算

ここでは、

電源が1つ、抵抗が3つある回路
電源が2つ、抵抗が3つある回路

の2つの回路について、ノートンの定理を用いて抵抗にかかる電圧を求めてみます。

電源が1つ、抵抗が3つある回路

ノートンの定理を用いて、次の回路の抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$ を先ほどのSTEP1～5の手順に従って求めてみます。

電源が1つ、抵抗が3つある回路

電圧を求めたい抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。

抵抗 $R_3$ にかかる電圧を求めたいので、抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とします。

抵抗R3の両端を端子a、bとする

抵抗 $R_3$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

抵抗 $R_3$ を取り外して、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にします。

端子a-b間を開放する

電圧源は短絡し、電流源は開放して回路内のすべての電源を取り除くと、回路は次のようになります。

電源を取り除いた回路

この回路の電源は電圧源だけなので、電圧源を短絡します。

電源を取り除くと抵抗 $R_1$ と抵抗 $R_2$ が並列に接続された回路になっているので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成コンダクタンス $G_0$ は、

$G_0=\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} =\dfrac{R_2+R_1}{R_1R_2}$

$\therefore G_0=\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}$　（合成コンダクタンス $G_0$ ）

となります。

抵抗の逆数がコンダクタンスになるので、抵抗 $R_1$ のコンダクタンスは $\dfrac{1}{R_1}$ 、抵抗 $R_2$ のコンダクタンスは $\dfrac{1}{R_2}$ になります。並列接続の合成コンダクタンスは、コンダクタンスをただ単に足すだけで求められるので、抵抗 $R_1$ と抵抗 $R_2$ の合成コンダクタンス $G_0$ は、$G_0=\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2}$ となります。

合成コンダクタンスG0

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡し、短絡した端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に流れる電流（短絡電流）$I_0$ を求める。

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡したときの回路は次のような回路になり、

端子a-b間を短絡したときの回路

この回路の抵抗 $R_1$ を通った電流は、抵抗 $R_2$ には流れず、すべて端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の方に流れます。

抵抗R2には電流が流れない

なので、短絡した端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に流れる電流（短絡電流）$I_0$ はオームの法則より、

$\therefore I_0=\dfrac{V}{R_1}$　（短絡電流 $I_0$ ）

となります。

短絡電流I0

STEP3で求めた合成コンダクタンス $G_0$ 、STEP4で求めた短絡電流 $I_0$ 、抵抗 $R_3$ のコンダクタンス $G_3$ をノートンの定理の式に代入して電圧 $V_3$ を計算する。

STEP3で求めた合成コンダクタンス $G_0$ とSTEP4で求めた短絡電流 $I_0$ は、

$G_0=\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}$

$I_0=\dfrac{V}{R_1}$

で、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の抵抗 $R_3$ のコンダクタンス $G_3$ は $G_3=\dfrac{1}{R_3}$ なので、これらをノートンの定理の式（①式）に代入すると、

$V_3=\dfrac{I_0}{G_0+G_3} =\dfrac{\dfrac{V}{R_1}}{\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$

$=\dfrac{\dfrac{V}{R_1}}{\dfrac{\left( R_1+R_2\right) R_3+R_1R_2}{R_1R_2R_3}}$

$=\dfrac{R_2R_3V}{\left( R_1+R_2\right) R_3+R_1R_2}$　（分母と分子に $R_1R_2R_3$ をかけた）

$=\dfrac{R_2R_3V}{R_1R_3+R_2R_3+R_1R_2}$

$\therefore V_3=\dfrac{R_2R_3V}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$　（抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$ ）

となり、この電圧 $V_3$ が抵抗 $R_3$ にかかる電圧になります。

ノートンの定理の式と抵抗R3にかかる電圧V3

以上で、「電源が1つ、抵抗が3つある回路」の抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$ が求められました。

この回路は複雑な回路ではないので、そんなに難しくはないですね。

次は、電源が2つある回路の計算です。電源が2つあるのでちょっとだけ難しくなりますよ、ちょっとだけ。

電源が2つ、抵抗が3つある回路

ノートンの定理を用いて、次の回路の抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$ を求めてみます。

電源が2つ、抵抗が3つある回路

電圧を求めたい抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。

抵抗 $R_3$ にかかる電圧を求めたいので、抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とします。

抵抗R3の両端を端子a、bとする

抵抗 $R_3$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

抵抗 $R_3$ を取り外して、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にします。

端子a-b間を開放する

電圧源は短絡し、電流源は開放して回路内のすべての電源を取り除くと、回路は次のようになります。

電源を取り除いた回路

この回路の電源は電圧源だけなので、電圧源を短絡します。

$G_0=\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} =\dfrac{R_2+R_1}{R_1R_2}$

$\therefore G_0=\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}$　（合成コンダクタンス $G_0$ ）

となります。

合成コンダクタンスG0

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡し、短絡した端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に流れる電流（短絡電流）$I_0$ を求める。

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を短絡したときの回路は次のようになり、

端子a-b間を短絡したときの回路

この回路の端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に流れる電流（短絡電流）$I_0$ は、重ね合わせの理を使うと次のように求められます。

重ね合わせの理による短絡電流I0の求め方

$I_0={I_0}^\prime +{I_0}^{\prime\prime}$

$=\dfrac{V_1}{R_1} +\dfrac{V_2}{R_2} =\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2}$

$\therefore I_0=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2}$　（短絡電流 $I_0$ ）

短絡電流I0

STEP3で求めた合成コンダクタンス $G_0$ とSTEP4で求めた短絡電流 $I_0$ は、

$G_0=\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}$

$I_0=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2}$

で、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の抵抗 $R_3$ のコンダクタンス $G_3$ は $G_3=\dfrac{1}{R_3}$ なので、これらをノートンの定理の式（①式）に代入すると、

$V_3=\dfrac{I_0}{G_0+G_3} =\dfrac{\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2}}{\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2} +\dfrac{1}{R_3}}$

$=\dfrac{\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2}}{\dfrac{\left( R_1+R_2\right) R_3+R_1R_2}{R_1R_2R_3}}$

$=\dfrac{\left( R_2V_1+R_1V_2\right) R_3}{\left( R_1+R_2\right) R_3+R_1R_2}$　（分母と分子に $R_1R_2R_3$ をかけた）

$=\dfrac{R_2R_3V_1+R_1R_3V_2}{R_1R_3+R_2R_3+R_1R_2}$

$\therefore V_3=\dfrac{R_2R_3V_1+R_1R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$　（抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$ ）

となり、この電圧 $V_3$ が抵抗 $R_3$ にかかる電圧になります。

ノートンの定理の式と抵抗R3にかかる電圧V3

以上で、「電源が2つ、抵抗が3つある回路」の抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$ が求められました。

ノートンの定理はおぼえておくとなにかと役に立つ定理ですので、ノートンの定理の使い方はおぼえておくようにしましょう！

ノートンの定理のまとめ

ノートンの定理は、電源を含む回路において、ある特定の素子にかかる電圧を求めたいときに有用な定理
端子間を開放したときの合成コンダクタンス $G_0$（電圧源は短絡し、電流源は開放する）と端子間を短絡したときの短絡電流 $I_0$ が分かれば、$V=\dfrac{I_0}{G_0+G}$ で抵抗 $R$ にかかる電圧 $V$ を求められる

ノートンの定理は回路を「電流源」に置き換える定理ですが、電流源ではなく「電圧源」に置き換える定理をテブナンの定理といいます。テブナンの定理については、こちらのテブナンの定理のページを参考にしてみてください。

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