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‘S”g�®—¬”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l�A•½‹Ï’l�A�Å‘å’l�A”gŒ`—¦�A”g�‚—¦‚ð‹�‚߂Ă݂܂·�B
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$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T\left( V_m\sin\omega t\right)^2\, dt}$�@‚ƂȂè‚Ü‚·�B
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$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T {V_m}^2\sin^2\omega t\, dt}$
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ŽOŠpŠÖ�”‚Ì”{Šp‚ÌŒöŽ®‚æ‚è�A$\sin^2\omega t=\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}$ ‚Ȃ̂Å�A‚±‚ê‚ð②Ž®‚É‘ã“ü‚µ‚Ü‚·�B
$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\displaystyle\int_0^T\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}\, dt}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\displaystyle\int_0^T\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left[ t-\dfrac{\sin 2\omega t}{2\omega}\right]_0^T}$
$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left\{\left( T-\dfrac{\sin 2\omega T}{2\omega}\right) -\left( 0-\dfrac{\sin\left( 2\omega\cdot 0\right)}{2\omega}\right)\right\}}$
$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-\dfrac{\sin 2\omega T}{2\omega}\right)}$�@�@�i $\because\sin\left( 2\omega\cdot 0\right)=\sin 0=0$ �j
‚±‚±‚Å�A$\omega T=2\pi$ ‚Ȃ̂Å�A�i $\because\omega =2\pi f$ �A$\omega =2\pi\cdot\dfrac{1}{T}$�@$\therefore\omega T=2\pi$ �j
$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-\dfrac{\sin\left( 2\cdot 2\pi\right)}{2\omega}\right)}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-\dfrac{\sin 4\pi}{2\omega}\right)}$
‚Ü‚½�A$\sin 4\pi =0$ ‚Ȃ̂Å�A
$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-0\right)}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\cdot T}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2}}$ $=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}$
$\therefore V_{rms}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m$
‘S”g�®—¬”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l‚Í�A�³Œ·”g”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l‚Æ“¯‚¶‚ɂȂè‚Ü‚·�B
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‘S”g�®—¬”gŒ`‚Ì•½‹Ï’l‚ÌŒvŽZ
•½‹Ï’l $V_{av}$ ‚Í’è‹`Ž®‚æ‚è�A
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |\, v\left( t\right) |\, dt$
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‚±‚ÌŽ®‚É‘S”g�®—¬”gŒ`‚ÌŽ®‚ð‘ã“ü‚·‚邯�A
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$�@�c③
‚±‚Ì③Ž®‚Í�A�³Œ·”g”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l�A•½‹Ï’l�A�Å‘å’l�A”gŒ`—¦�A”g�‚—¦‚ÌŒvŽZ•û–@‚̃y�[ƒW‚Å�³Œ·”g”gŒ`‚Ì•½‹Ï’l‚ðŒvŽZ‚µ‚½‚Æ‚«‚ÌŽ®‚Æ“¯‚¶Ž®‚ɂȂé‚̂ł·‚ª�A‚¹‚Á‚©‚‚Ȃ̂ł±‚±‚Å‚Í�A�³Œ·”g”gŒ`‚Ì•½‹Ï’l‚ðŒvŽZ‚µ‚½‚Æ‚«‚Ƃ͈Ⴄ‹�‚ß•û‚ÅŒvŽZ‚µ‚Ă݂܂·�B
�³Œ·”g”gŒ`‚Ì•½‹Ï’l‚ð‹�‚ß‚½‚Æ‚«‚Í�A�u$0\sim T$ ‚͈̔͂ŌvŽZ‚µ‚Ä‚à $0\sim\dfrac{T}{2}$ ‚͈̔͂ŌvŽZ‚µ‚Ä‚à�A•½‹Ï’l‚Í“¯‚¶‚ɂȂé�v‚Æ‚¢‚¤�l‚¦•û‚Å‰ð‚«‚Ü‚µ‚½�B
‚±‚±‚Å‚Í�A�u�â‘Î’l‚Ì’†‚ð�ê�‡•ª‚¯‚µ‚Ä�â‘Î’l‚ðŠO‚·ŒvŽZ•û–@�v‚Å‰ð‚¢‚Ä‚Ý‚æ‚¤‚ÆŽv‚¢‚Ü‚·�B
‚Ü‚¸�A�â‘Î’l‚Ì’†‚Í�A$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ ‚Å‚·‚Ë�B‚±‚ê‚ðƒOƒ‰ƒt‚Å•`‚‚ÆŽŸ‚̂悤‚ɂȂè‚Ü‚·�B�i‚½‚¾‚Ì�³Œ·”g‚Å‚·�B�j

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�â‘Î’l‚ðŠO‚·‚½‚߂ɂÍ�AƒOƒ‰ƒt‚ªƒ}ƒCƒiƒX‚ɂȂé”͈͂ɂ̓}ƒCƒiƒX‚ð‚©‚¯‚ê‚΂¢‚¢‚Ì‚Å�A③Ž®‚ÍŽŸ‚̂悤‚É�‘‚¯‚Ü‚·�B�iƒOƒ‰ƒt‚ªƒvƒ‰ƒX‚ɂȂÁ‚Ä‚¢‚é”͈͂͂»‚̂܂܂ł¢‚¢‚Å‚·‚æ�B�j
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$ $=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} V_m\sin\omega t\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left( -V_m\sin\omega t\right)\, dt\right\}$
�â‘Î’l‚ðŠO‚¹‚½‚Ì‚Å�A‚ ‚Ƃ͂±‚ê‚ðŒvŽZ‚µ‚Ä‚¢‚¯‚΂¢‚¢‚Å‚·�B$V_m$ ‚Í’è�”‚Ȃ̂Å�A�Ï•ª‚ÌŠO‚É�o‚µ‚Ä‚µ‚Ü‚¢‚Ü‚·‚æ�B
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\left\{ V_m\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\sin\omega t\, dt-V_m\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\sin\omega t\, dt\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ \displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\sin\omega t\, dt-\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\sin\omega t\, dt\right\}$
$=\dfrac{V_m}{T}\left\{\left[\dfrac{-\cos\omega t}{\omega}\right]_0^\frac{T}{2} -\left[\dfrac{-\cos\omega t}{\omega}\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left[\dfrac{\cos\omega t}{\omega}\right]_0^\frac{T}{2} +\left[\dfrac{\cos\omega t}{\omega}\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$
$=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{\cos\left(\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{\omega} -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot 0\right)}{\omega}\right) +\left(\dfrac{\cos\left(\omega\cdot T\right)}{\omega} -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{\omega}\right)\right\}$
‚±‚±‚Å�A$\omega T=2\pi$ �A$\dfrac{\omega T}{2} =\pi$ ‚Ȃ̂Å�A‚±‚ê‚ç‚ð‘ã“ü‚·‚邯�A
$V_{av}=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{\cos\pi}{\omega} -\dfrac{\cos 0}{\omega}\right) +\left(\dfrac{\cos 2\pi}{\omega} -\dfrac{\cos\pi}{\omega}\right)\right\}$
‚Ü‚½�A$\cos 0=1$�A$\cos\pi =-1$�A$\cos 2\pi =1$ ‚Ȃ̂Å�A‚±‚ê‚ç‚ð‘ã“ü‚·‚邯�A
$V_{av}=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{-1}{\omega} -\dfrac{1}{\omega}\right) +\left(\dfrac{1}{\omega} -\dfrac{-1}{\omega}\right)\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{-2}{\omega}\right) +\left(\dfrac{2}{\omega}\right)\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{\dfrac{4}{\omega}\right\}$ $=\dfrac{4V_m}{\omega T}$
‚Ü‚½‚Ü‚½‚±‚±‚Å�A$\omega T=2\pi$ ‚ð‘ã“ü‚·‚邯�A
$V_{av}=\dfrac{4V_m}{\omega T} =\dfrac{4V_m}{2\pi} =\dfrac{2}{\pi} V_m$
$\therefore V_{av}=\dfrac{2}{\pi} V_m$
‘S”g�®—¬”gŒ`‚Ì•½‹Ï’l‚Í�A�³Œ·”g”gŒ`‚Ì•½‹Ï’l‚Æ“¯‚¶‚ɂȂè‚Ü‚·�B
‘S”g�®—¬”gŒ`‚Ì�Å‘å’l‚ÌŒvŽZ
‘S”g�®—¬”gŒ`‚ÌŽ®‚ð $v\left( t\right) =|V_m\sin\omega t|$ ‚Å—^‚¦‚Ä‚¢‚é‚Ì‚Å�A �Å‘å’l‚Í $V_m$ ‚ɂȂè‚Ü‚·�B
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”gŒ`—¦ $=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m}{\dfrac{2}{\pi} V_m} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\pi}{2}$ $=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$
$\therefore$ ”gŒ`—¦ $=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$
”gŒ`—¦‚ɂ‚¢‚Ä‚à�³Œ·”g”gŒ`‚Ì’l‚Æ“¯‚¶‚ɂȂè‚Ü‚·�B�iŽÀŒø’l‚Æ•½‹Ï’l‚Ì’l‚ª“¯‚¶‚Ȃ̂Å�A‚»‚è‚á‚»‚¤‚Å‚·‚æ‚Ë�B�j
‘S”g�®—¬”gŒ`‚Ì”g�‚—¦‚ÌŒvŽZ
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”g�‚—¦‚Ì’è‹`Ž®‚Í�A
”g�‚—¦ $=\dfrac{\text{�Å‘å’l}}{\text{ŽÀŒø’l}}$
‚Ȃ̂Å�A‚±‚ê‚É‹�‚ß‚½ŽÀŒø’l‚Æ�Å‘å’l‚ð‘ã“ü‚·‚邾‚¯‚Å‚¢‚¢‚Å‚·�B
”g�‚—¦ $=\dfrac{V_m}{\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =\sqrt{2}$
$\therefore$ ”g�‚—¦ $=\sqrt{2}$
”g�‚—¦‚à�³Œ·”g”gŒ`‚Ì’l‚Æ“¯‚¶‚ɂȂè‚Ü‚·�B
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| ‘S”g�®—¬”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l�A•½‹Ï’l�A�Å‘å’l�A”gŒ`—¦�A”g�‚—¦ | |
|---|---|
| ŽÀŒø’l | $\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m$ |
| •½‹Ï’l | $\dfrac{2}{\pi} V_m$ |
| �Å‘å’l | $V_m$ |
| ”gŒ`—¦ | $\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$ |
| ”g�‚—¦ | $\sqrt{2}$ |
”gŒ`—¦‚Æ”g�‚—¦‚Í’è‹`Ž®‚É‘ã“ü‚·‚邾‚¯�A�Å‘å’l‚̓Oƒ‰ƒt‚©‚ç‚»‚̂܂܋�‚߂邾‚¯‚Ȃ̂ŊȒP‚Å‚·‚ª�AŽÀŒø’l‚Æ•½‹Ï’l‚Í�Ï•ª‚ÌŒvŽZ‚ð‚µ‚È‚¢‚Æ‚¢‚¯‚È‚¢‚Ì‚Å�A‚¿‚å‚Á‚Æ‘å•ςł·‚Ë�B
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•ûŒ`”g”gŒ`‚Í‚±‚¿‚ç�@�@‚Ì‚±‚¬‚è”g”gŒ`‚Í‚±‚¿‚ç
”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l�A•½‹Ï’l�A�Å‘å’l�A”gŒ`—¦�A”g�‚—¦‚Ì‹�‚ß•û‚ÌŠî–{‚ɂ‚¢‚Ä‚Í�A‚±‚¿‚ç‚Ì”gŒ`‚ÌŽÀŒø’l�A•½‹Ï’l�A�Å‘å’l�A”gŒ`—¦�A”g�‚—¦‚ÌŒvŽZ•û–@‚̃y�[ƒW‚ðŽQ�l‚É‚µ‚Ă݂Ă‚¾‚³‚¢�B
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- Œð—¬‰ñ˜H‚̃Cƒ“ƒs�[ƒ_ƒ“ƒX‚ÌŒvŽZ�i‘fŽq‚ª1ŒÂ‚Ì�ê�‡�j
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- Œð—¬‰ñ˜H‚Ì�‡�¬ƒCƒ“ƒs�[ƒ_ƒ“ƒX‚ÌŒvŽZ�i‘fŽq‚ª2ŒÂ’¼—ñ�Ú‘±‚Ì�ê�‡�j
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