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方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
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方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を求めてみます。
次の図1のような方形波波形を考え、
この波形を与える式（1周期分）を
$v\left( t\right) =\begin{cases} V_m & \left( 0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}\right) \\ -V_m & \left(\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T\right)\end{cases}$ …①
とし、周期を $T$ とします。
図1の場合の方形波波形は、$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲では $V_m$ 、$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲では $-V_m$ になるので、式で書くと①式のようになるんですね。
ちなみに、方形波と矩形波は同じです。
それでは、実効値から順番に計算して求めてみます。
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方形波波形の実効値の計算
実効値 $V_{rms}$ を求める定義式は対象の波形の式を $v\left( t\right)$ とすると、
$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt}$
となります。
この定義式の $v\left( t\right)$ に波形の式を代入して計算すると実効値を求められるのですが、①式をみると $0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲で式が異なります。
このような場合の計算の方法、考え方にはいろいろありますが、ここでは $0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲でそれぞれ分けて積分する計算方法で解いてみようと思います。
①式より、
$0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ の範囲では、$v\left( t\right) =V_m$
$\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲では、$v\left( t\right) =-V_m$
なので、求める方形波波形の実効値の式は次のように書くことができます。
$V_{rms}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} {V_m}^2\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left( -V_m\right)^2\, dt\right\}}$
したがって、あとはこの式を計算していけばいいです。
$V_{rms}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} {V_m}^2\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T {V_m}^2\, dt\right\}}$
${V_m}^2$ は定数なので、積分の外に出してしまいましょう。
$V_{rms}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{ {V_m}^2\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} 1\, dt+{V_m}^2\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T 1\, dt\right\}}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} 1\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T 1\, dt\right\}}$
$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\left\{\left[ t\right]_0^\frac{T}{2} +\left[ t\right]_\frac{T}{2}^T\right\}}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\left\{\left(\dfrac{T}{2} -0\right) +\left( T-\dfrac{T}{2}\right)\right\}}$
$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\left(\dfrac{T}{2} +\dfrac{T}{2}\right)} =\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\cdot T}$ $=\sqrt{{V_m}^2}$ $=V_m$
$\therefore V_{rms}=V_m$
方形波波形の実効値は、最大値と同じ値になります。
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方形波波形の平均値の計算
平均値 $V_{av}$ を求める定義式は対象の波形の式を $v\left( t\right)$ とすると、
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |\, v\left( t\right) |\, dt$
です。
平均値についても実効値を求めたときと同じように、$0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲でそれぞれ分けて積分する方法で計算してみましょう。
すると、方形波波形の平均値の式は次のように書くことができます。
$V_{av}$ $=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} |V_m|\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T |-V_m|\, dt\right\}$
したがって、この式を計算すれば方形波波形の平均値を求めることができます。
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} V_m\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T V_m\, dt\right\}$
$V_m$ は定数なので、積分の外に出せますね。
$V_{av}=\dfrac{1}{T}\left\{ V_m\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} 1\, dt+V_m\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T 1\, dt\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} 1\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T 1\, dt\right\}$
$=\dfrac{V_m}{T}\left\{\left[ t\right]_0^\frac{T}{2} +\left[ t\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{\left(\dfrac{T}{2} -0\right) +\left( T-\dfrac{T}{2}\right)\right\}$
$=\dfrac{V_m}{T}\left(\dfrac{T}{2} +\dfrac{T}{2}\right) =\dfrac{V_m}{T}\cdot T=V_m$
$\therefore V_{av}=V_m$
方形波波形の平均値も最大値と同じ値になります。
方形波波形の最大値の計算
方形波波形の最大値は $V_m$ になります。
グラフをみれば分かりますね。
$\therefore$ 最大値 $=V_m$
方形波波形の波形率の計算
波形率は定義式に入れるだけです。
波形率の定義式は、
波形率 $=\dfrac{\text{実効値}}{\text{平均値}}$
なので、これに求めた実効値と平均値を代入します。
波形率 $=\dfrac{V_m}{V_m} =1$
$\therefore$ 波形率 $=1$
方形波波形の波高率の計算
波高率も定義式に入れるだけです。
波高率の定義式は、
波高率 $=\dfrac{\text{最大値}}{\text{実効値}}$
なので、これに求めた実効値と最大値を代入します。
波高率 $=\dfrac{V_m}{V_m} =1$
$\therefore$ 波高率 $=1$
方形波波形についてまとめると
以上より、方形波波形について、実効値、平均値、最大値、波形率、波高率をまとめると次のようになります。
| 方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率 | |
|---|---|
| 実効値 | $V_m$ |
| 平均値 | $V_m$ |
| 最大値 | $V_m$ |
| 波形率 | $1$ |
| 波高率 | $1$ |
方形波波形の場合、実効値 $=$ 平均値 $=$ 最大値 $=V_m$ 、波形率 $=$ 波高率 $=1$ となります。
またここでは、実効値と平均値を求める過程で、$0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲で分けて積分の計算をしましたが、このような計算のやり方の方がすっきりしていて分かりやすいという人の方が多いかもしれません。
答えは一つですが、計算方法にはいろいろあります。
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他の波形についても実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を計算していますので参考にしてみてください。
正弦波波形はこちら 全波整流波形はこちら
半波整流波形はこちら のこぎり波波形はこちら
波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方の基本については、こちらの波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法のページを参考にしてみてください。
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