交流回路｜半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

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半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を求めてみます。

 

半波整流波形は図1のような波形になるので、

 

 

この波形を与える式（1周期分）を

 

$v\left( t\right) =\begin{cases} V_m\sin\omega t & \left( 0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}\right) \\ 0 & \left(\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T\right)\end{cases}$　…①

 

とし、周期を $T$ とします。

 

①式をみるとちょっとめんどくさそうな雰囲気がありますが、半波整流波形（1周期分）は $0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲では $v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ 、$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲ではゼロなので、式で書くとこんな感じになります。（めんどくさそうなのは見た目だけなので大丈夫ですよ。）

 

図1をみると分かるように、半波整流波形は、波形の半分はサイン波形で、半分はゼロなんですね。

 

それでは、実効値から順番に計算して求めてみます。

 

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半波整流波形の実効値の計算

実効値 $V_{rms}$ は定義式より、

 

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt}$

 

で求められます。

 

この定義式の $v\left( t\right)$ に波形の式を代入すれば実効値を求められるのですが、半波整流波形は①式で表わされるように式が2つに分かれていますよね？

 

で、どうやって計算すればいいの？

 

これは、定義式の中の積分についてちょっと考えてみる必要があります。

 

定義式中の積分 $\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt$ は、波形を2乗して1周期の $0\sim T$ の範囲で積分した値という意味になりますが、半波整流波形の半分はゼロ（$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲）になりますよね？

 

なので、半波整流波形の実効値を計算するときは、定義式中の $\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt$ を$\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} v\left( t\right)^2\, dt$ として計算します。

 

それで定義式のルートの中の $\dfrac{1}{T}$ については、積分値 $\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt$ を波形の1周期で割ります（1周期 $T$ で平均する）という意味なので、半波整流波形の1周期は $T$ なので、ここはそのまま $\dfrac{1}{T}$ とします。

 

すると、半波整流波形の実効値を求める式は、次のように表わせます。

 

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\left( V_m\sin\omega t\right)^2\, dt}$　…②

 

半波整流波形の実効値を求める式が分かったので、あとは②式を計算するだけです。

 

②式より、

 

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\left( V_m\sin\omega t\right)^2\, dt}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} {V_m}^2\sin^2\omega t\, dt}$

 

${V_m}^2$ は定数なので積分の外に出して、

 

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\sin^2\omega t\, dt}$　…③

 

三角関数の倍角の公式より、$\sin^2\omega t=\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}$ なので、これを③式に代入します。

 

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}\, dt}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt}$

 

$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left[ t-\dfrac{\sin 2\omega t}{2\omega}\right]_0^\frac{T}{2}}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left\{\left(\dfrac{T}{2} -\dfrac{\sin\left( 2\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{2\omega}\right) -\left( 0-\dfrac{\sin\left( 2\omega\cdot 0\right)}{2\omega}\right)\right\}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left(\dfrac{T}{2} -\dfrac{\sin\omega T}{2\omega}\right)}$

 

ここで、$\omega T=2\pi$ なので、( $\because\omega =2\pi f$ 、$\omega =2\pi\cdot\dfrac{1}{T}$　$\therefore\omega T=2\pi$ )

 

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left(\dfrac{T}{2} -\dfrac{\sin 2\pi}{2\omega}\right)}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\cdot\dfrac{T}{2}}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{4}}$ $=\dfrac{V_m}{2}$

 

 

半波整流波形の実効値は、最大値の半分になります。

 

 

半波整流波形の平均値の計算

平均値 $V_{av}$ の定義式は、

 

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |\, v\left( t\right) |\, dt$

 

ですが、実効値を求めたときの考え方と同じように考えると、半波整流波形の平均値の式は次のように表わされます。

 

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} |V_m\sin\omega t|\, dt$　…④

 

この式には絶対値が付いていますが、積分する範囲が $0\sim\dfrac{T}{2}$ なので絶対値をそのまま外せます。（$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲では、$V_m\sin\omega t$ は常にプラスなので。）

 

したがって④式は、

 

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} V_m\sin\omega t\, dt$　となります。

 

あとは、これをふつうに計算すればいいです。

 

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} V_m\sin\omega t\, dt$ $=\dfrac{V_m}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\sin\omega t\, dt$ $=\dfrac{V_m}{T}\left[ -\dfrac{\cos\omega t}{\omega}\right]_0^\frac{T}{2}$

 

$=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{\omega} -\left( -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot 0\right)}{\omega}\right)\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\dfrac{\cos\dfrac{\omega T}{2}}{\omega} +\dfrac{1}{\omega}\right\}$

 

$\omega T=2\pi$ なので、これを代入すると、

 

$V_{av}=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\dfrac{\cos\dfrac{2\pi}{2}}{\omega} +\dfrac{1}{\omega}\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\dfrac{\cos\pi}{\omega} +\dfrac{1}{\omega}\right\}$

 

$=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\dfrac{-1}{\omega} +\dfrac{1}{\omega}\right\} =\dfrac{V_m}{T}\left(\dfrac{2}{\omega}\right)$ $=\dfrac{2V_m}{\omega T}$

 

またまた $\omega T=2\pi$ を代入すると、

 

$V_{av}=\dfrac{2V_m}{2\pi} =\dfrac{V_m}{\pi}$

 

 

半波整流波形の最大値の計算

半波整流波形の式を $v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$（$0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$）で与えているので、 最大値は $V_m$ になります。

 

計算する必要はないですね。

 

 

 

半波整流波形の波形率の計算

波形率は定義式に入れるだけです。

 

波形率の定義式は、

 

波形率 $=\dfrac{\text{実効値}}{\text{平均値}}$

 

なので、これに求めた実効値と平均値を代入します。

 

波形率 $=\dfrac{\dfrac{1}{2} V_m}{\dfrac{1}{\pi} V_m} =\dfrac{1}{2}\times\pi =\dfrac{\pi}{2}$

 

 

半波整流波形の波高率の計算

波高率も定義式に入れるだけです。

 

波高率の定義式は、

 

波高率 $=\dfrac{\text{最大値}}{\text{実効値}}$

 

なので、これに求めた実効値と最大値を代入します。

 

波高率 $=\dfrac{V_m}{\dfrac{1}{2} V_m} =1\times 2=2$

 

 

半波整流波形についてまとめると

以上より、半波整流波形について、実効値、平均値、最大値、波形率、波高率をまとめると次のようになります。

 

半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率

半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
実効値	$\dfrac{1}{2} V_m$
平均値	$\dfrac{1}{\pi} V_m$
最大値	$V_m$
波形率	$\dfrac{\pi}{2}$
波高率	$2$

 

波形率と波高率は定義式に代入するだけ、最大値はグラフからそのまま求めるだけなので簡単ですが、実効値と平均値は積分の計算をしないといけないので、ちょっと大変ですね。

 

 

他の波形についても実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を計算していますので参考にしてみてください。
正弦波波形はこちら　　全波整流波形はこちら
方形波波形はこちら　　のこぎり波波形はこちら

 

波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方の基本については、こちらの波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法のページを参考にしてみてください。

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